Resolver aplicación de ecuaciones diferenciales, ley de enfriamiento de newton

Siendo un decaimiento proporcional:  dT°/dt = T°(k);  con k negativa por ser un decaimiento.

dT/T = kdt;  integro ambos lados:

ln|T| = kt + C;  

T(t) = e^[(-kt)+C];  

o, T(t) = e^(kt) * e^C;  haciendo A=e^C, que también es constante:

T(t) = A*e^(kt);  si t=0;  T(0) = A;  por lo que:

T(t) = T(0)*e^(kt);

Supongamos que el agregado de crema fría resta en ambas situaciones una cantidad de grados de temperatura constante que llamaremos F:

Presidente:  T(10p) = [T(0)-F]* e^(10k);

Ministro:  T(10m) = T(0)* e^(10k) - F;

Para el Presidente puedo hacer:  T(10p) = T(0)e^(10k) - Fe^(10k);

T(10p) + Fe^(10k) = T(0)e^(10k);  reemplazo en Ministro:

T(10m) = T(10p) + Fe^(10k) -F;

T(10m) = T(10p) + F*[ e^(10k) - 1];  como k es negativa, [ e^(10k) - 1] es negativo, el ministro lo tomará más frío.

Corroboremos con números: 

Supongamos T(0) = 100°;  F=20°;  k=-0.1/min

T(10p) = (100° - 20°)* e^(-1);  T(10p) = 80°/e;

T(10m) = 100°e^(-1) - 20°;  T(10m) = (100°/e) - 20°;  T(10m)= (100°-20e°)/e

Vemos que 80°/e > (100°-20e°)/e.

Por qué se dice que es decaimiento? Porque la temperatura baja? (Es que he hecho varios ejercicios en los que la temperstura baja pero no se toma negativa la k)

Así es, como la temperatura disminuye en relación al tiempo, la constante de "crecimiento" debe ser negativa. Hagamos un ejemplo más sencillo, el de un decaimiento constante (no como este, proporcional), que terminaremos en algo tan simple como la ecuación de una recta:

Q cambia una cantidad constante por unidad de tiempo:

dQ/dt=k;  dQ=kdt;  integro:  Q(t)= kt + C;  que es la ecuación de una recta;

Si Q aumenta con el tiempo, k>0 (pendiente positiva); si disminuye con el tiempo, k<0 (pendiente negativa).

Lo mismo pasa con una variación proporcional (en relación a la cantidad inicial):

dQ/dt= Qk;  dQ/Q=kdt;  y ahora al integrar aparece todo lo de tu respuesta;  si fuera un crecimiento exponencial:  k>0;  si es un decrecimiento exponencial:  k<0.

No me imagino la posibilidad de una disminución de la temperatura en relación al tiempo con k>0.