Criterios de segunda derivada. Hallar las dimensiones
El reglamento postal de un país exige que la suma de las tres dimensiones de un paquete rectangular, de base cuadrada, no exceda los 150 cm. Halla las dimensiones del paquete rectangular de base cuadrada Los requerimientos postales y cuyo volumen sea máximo
El volumen de un prisma de base cuadrada es:
1) V=b^2h;
2) La suma de las tres dimensiones: 150cm = 2b+h;
Debo optimizar V en función de h o b, pero por simplicidad lo haré en función de b:
De 2) obtengo: h=150cm-2b; reemplazo en 1)
V=b^2 * (150cm-2b); o: V=-2b^3 + 150b^2; Derivo:
V ' (b) = -6b^2 + 300b; igualo a 0:
0 = -6b(b-50); b=0; (que no puede ser); o: b=50 cm;
Lo que deja un cubo de 50 cm de lado.
Veamos con la segunda derivada: V " (b) = -12 b + 300;
Si b=0: V " (b) es positivo: es un mínimo (de hecho es un prisma de Volumen cero);
Si b=50cm; V " (b) es negativo: es un máximo.
