¿E elevado a la x, por que deriva en ella misma?
Alguien me podría explicar gráfica y analíticamente porque la función e elevado a la x, deriva en ella misma.
2 Respuestas
Si recuerdas la definición de la derivada, esta se obtiene como un límite, veamos a partir de esto si podemos deducir algo
$$\begin{align}&f'(x) = \lim _{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim _{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} =\\&= \lim _{h \to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h} = \text{(por ser }e^x \text{un término que no depende de h)}\\&= e^x \lim _{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \end{align}$$Quedaría demostrar que el último límite vale 1, para eso te dejo el siguiente LINK
Respecto a la explicación 'gráfica', no entiendo que es lo que necesitás que te expliquen, básicamente lo que está diciendo esa expresión es que para todos los valores de x, la pendiente de la función en cada punto tiene el mismo valor que la propia función
Salu2
El desarrollo de Gustavo es correcto, sólo agregaré la demostración de:
lím (h->0) [(e^h) +1] / h = 1.
Partamos de una de las formas de e: e= lím(h->0) (1+h)^(1/h); reemplacemos:
lím (h->0) [{[1+h]^(1/h)}^h) +1] / h;
lím (h->0) [{[1+h]^[(1/h)*h] } +1] / h;
lím (h->0) [1+h +1] / h;
lím (h->0) h/h; simplifico, y es igual a 1.
Tal cual tu respuesta es:
lím (h->0) [(e^h) -1] / h = 1; yo había copiado mal de mi resolución en papel y siguió el + en lugar del -.
Partamos de una de las formas de e: e= lím(h->0) (1+h)^(1/h); reemplacemos:
lím (h->0) [{[1+h]^(1/h)}^h) -1] / h;
lím (h->0) [{[1+h]^[(1/h)*h] } -1] / h;
lím (h->0) [1+h -1] / h;
lím (h->0) h/h; simplifico, y es igual a 1.
Ahora sí está correcto.
Gracias Gustavo por hacerme notar el error.