Álgebra Lineal . Demostrar que los polinomios forman una base

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d;

f ' (x) = 3ax^2+2bx+c

f ' ' (x) = 6ax +2b

f ' ' ' (x) = 6a;

A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a = 0

Aa=0;   Si a=/=0;  A=0;

Ab+3aB=0 ;  0+3aB=0;  a=/=0;  B=0;

Ac+2bB+6aC=0;  0+0 + 6aC=0;  C=0;

Ad+cB+2bC+6aD=0;  0+0+0+6aD=0;  D=0;

A=B=C=D=0;  lo que demuestra que son cuatro polinomios linealmente independientes del subespacio de dimensión 4 (recordar que la dimensión de un espacio vectorial de polinomios es el grado del polinomio + 1) y por lo tanto constituyen una base.  Con esto está respondida la pregunta, pero podemos seguir, sabiendo que la base canónica para Polinomios de grado 3 es:  1; x; x2; x^3:

1)  x^3=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a

2)  x^2=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a

3)  x=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a

4)  1=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a;

1)  x^3= Aax^3 (todo el resto queda en 0 porque no hay otro x^3 a la derecha).   A=1/a;          

2)  x^2=Abx^2+3Bax^2; (todo el resto=0):  1=Ab+3Ba; o: 1=1/a +3Ba;

(a-1)/a = 3Ba;  B=(1/3)[(a-1)/a^2];

3)  x=Acx+2Bbx+6Cax;   1=Ac+2Bb+6aC;  Reemplazando:

1=(c/a)+{(2b/3)[(a-1)/a^2]}+6aC; 

C= (( 1-(c/a) - {(2b/3)[(a-1)/a^2]} )) / 6a

1=Ad+Bc+2Cb+6Da;  Reemplazando:

D={{1-(d/a) - c(1/3)[(a-1)/a^2] - 2b[[(( 1-(c/a) - {(2b/3)[(a-1)/a^2]} )) / 6a]] }}/6a

Que son los cuatro coeficientes para que cada uno de los cuatro polinomios sean linealmente dependientes de: 1; x; x^2; x^3.