Álgebra Lineal . Demostrar que los polinomios forman una base
$$\begin{align}&f(x)=ax^3+bx^2+cx+d , a≠ 0\end{align}$$Demostrar que los polinomios f(x), f'(x), f ''(x) y f'''(x) forman una base
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d;
f ' (x) = 3ax^2+2bx+c
f ' ' (x) = 6ax +2b
f ' ' ' (x) = 6a;
A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a = 0
Aa=0; Si a=/=0; A=0;
Ab+3aB=0 ; 0+3aB=0; a=/=0; B=0;
Ac+2bB+6aC=0; 0+0 + 6aC=0; C=0;
Ad+cB+2bC+6aD=0; 0+0+0+6aD=0; D=0;
A=B=C=D=0; lo que demuestra que son cuatro polinomios linealmente independientes del subespacio de dimensión 4 (recordar que la dimensión de un espacio vectorial de polinomios es el grado del polinomio + 1) y por lo tanto constituyen una base. Con esto está respondida la pregunta, pero podemos seguir, sabiendo que la base canónica para Polinomios de grado 3 es: 1; x; x2; x^3:
1) x^3=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a
2) x^2=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a
3) x=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a
4) 1=A(ax^3+bx^2+cx+d) + B(3ax^2+2bx+c) + C(6ax+2b)+D6a;
1) x^3= Aax^3 (todo el resto queda en 0 porque no hay otro x^3 a la derecha). A=1/a;
2) x^2=Abx^2+3Bax^2; (todo el resto=0): 1=Ab+3Ba; o: 1=1/a +3Ba;
(a-1)/a = 3Ba; B=(1/3)[(a-1)/a^2];
3) x=Acx+2Bbx+6Cax; 1=Ac+2Bb+6aC; Reemplazando:
1=(c/a)+{(2b/3)[(a-1)/a^2]}+6aC;
C= (( 1-(c/a) - {(2b/3)[(a-1)/a^2]} )) / 6a
1=Ad+Bc+2Cb+6Da; Reemplazando:
D={{1-(d/a) - c(1/3)[(a-1)/a^2] - 2b[[(( 1-(c/a) - {(2b/3)[(a-1)/a^2]} )) / 6a]] }}/6a
Que son los cuatro coeficientes para que cada uno de los cuatro polinomios sean linealmente dependientes de: 1; x; x^2; x^3.
