Problema identificar la diferencia entre una variable aleatoria discreta y una continua
- En un documento resolver los siguientes ejercicios:
- Calcular el resultado que debe esperar una persona que compra 6 billetes, si se venden 10,000 billetes para una rifa a 10 pesos cada uno, y si el único premio del sorteo es de 12,800 pesos.
- Calcular la esperanza y la varianza si consideras que una variable aleatoria discreta toma todos los valores enteros entre 0 y 4 con la siguiente función de densidad:
Analizar esta situación y determina la función de densidad y la probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 6 minutos. La función de distribución de la variable aleatoria que representa la duración en minutos de una llamada telefónica es:
1 Respuesta
D,!
Resolveré sólo la primer parte del problema. Te pido por favor que la segunda parte del problema lo subas en una pregunta nueva, pues luego los sistemas se saturan y ya no tenemos espacio para seguir desarrollando el ejercicio. En cuanto lo hayas subido, lo contestaré :).
- Calcular el resultado que debe esperar una persona que compra 6 billetes, si se venden 10,000 billetes para una rifa a 10 pesos cada uno, y si el único premio del sorteo es de 12,800 pesos.
Sea X la variable aleatoria que asocia éxito o fracaso de conseguir el premio de $12,800.
Luego, la probabilidad de conseguir éxito, es decir, ganar los 12,800 será de 6/10,000 = 0.0006. Pues corresponde justo a los 6 billetes que obtuvimos del total de 10,000 que se vendieron.
Y por lo tanto, la probabilidad de que no nos llevemos el premio será de: 1 - 0.0006 = 0.9994.
Fácilmente, podemos reconocer que se trata de una distribución Bernoulli, la cual asocia cierto éxito con probabilidad p y fracaso con probabilidad (1-p). Así, el resultado esperado que puede tener el individuo será lo siguiente. Al calcular la esperanza matemática:
$$\begin{align}&E[X]=\sum_{x} xf_X(x) = 12,800*(0.0006) +0*(0.9994)=7.68\end{align}$$Pero nos hemos gastado $60 en la compra de los billetes, por lo que debemos restar los $60 al resultado esperado anterior, teniendo que:
$$\begin{align}&E[X]=7.68-60=-52.32\end{align}$$Lo cual es razonable, pues al tener una probabilidad prácticamente nula de ganar, el resultado que esperamos es siempre de pérdida, considerando lo que hemos gastado contra lo que esperaríamos poder ganar.
- Calcular la esperanza y la varianza si consideras que una variable aleatoria discreta toma todos los valores enteros entre 0 y 4 con la siguiente función de densidad:
$$\begin{align}&\text{Para calcular la esperanza, simplemente debemos sumar cada uno de los valores que toma la función de densidad multiplicados por la probabilidad que estos pueden tomar, esto es:}\\&\\&E[X]=\sum_{x} xf_X(x)=0*(0.3)+1*(0.25)+2*(0.25)+3*(0.1)+4*(0.1)=1.45\\&\\&\text{La varianza la podemos calcular como el segundo momento de la variable aleatoria X menos el cuadrado de la esperanza, es decir:}\\&\\&VAR[X]=\sum_{x} x^2f_X(x) -E[X]^2=0^2*(0.3)+1^2*(0.25)+2^2*(0.25)+3^2*(0.1)+4^2*(0.1)-(1.45)^2=1.6475\end{align}$$Y eso sería todo,
Cualquier duda, con mucho gusto te atiendo :)
Salu2.
