Tengo una duda con cálculo: ¿Obtener los extremos absolutos de la función f(x,y)=x^2+y^2?

;)

La región está entre la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2

(x^2+y^2=4)

y la recta que pasa por (0,2) y (2,0): y=2-x

Estos puntos son también vértices de la región luego son dos candidatos (son puntos de intersección entre la recta y la circunferencia)

Por ser f(x, y)=x^2+y^2 continua (por ser polinómica) y la región cerrada y acotada, el Teorema de Weierstrass nos asegura que tiene Max i min absolutos.

Derivadas parciales:

f'_x=2x=0 ==> x=0

f'_y=2y=0 ==> y=0 

El punto (0,0) no está en la región. Está por debajo de la recta.

Lagrangiano:

L(x,y,l)=x^2+y^2+l(x+y-2)

Derivando:

L'_x=2x+l=0==> x=-l/2

L'_y=2y+l=0 ==> y=-l/2

L'_l=x+y-2=0

Sustituyendo los dos primeros en la tercera

-l/2 +(-l/2)-2=0. ==> l=-2 ==>x=1   y=1

(1,1) que sí está en el Dominio pues está sobre la recta. Es otro candidato.

Lagrangiano para la circunferencia:

L(x,y)=x^2+y^2+l(x^2+y^2-4)

Derivando

L'_x=2x+2xl=2x(1+l)=0 (*)

==> Dos soluciones  x=0.    o.    l=-1

L'_y=2y+2ly=2y(1+l)=0. (**)

==> Dos soluciones. y=0.  o.  l=-1

L'_l=x^2+y^2-4=0. (** *)

Caso x=0 sustituimos en la (***) ==> y=2 , o, y=-2.   Candidatos (0,2) y (0,-2)

Solo sirve (0,2) en el primer cuadrante.

El caso y=0 nos lleva análogamente a los puntos (2,0) y(-2,0) del cual ya sabíamos por ser un vértice también.

El caso l=-1  en la segunda condición nos lleva a 0=0

Y en la tercera no depende de l

Luego todos los puntos frontera de x^2+y^2=4 pueden ser extremos.

Sustituimos ahora todos los candidatos en la función:

f(x,y)=x^2+y^2

(0,2)==>f=4

(2,0)==> f=4

(1,1) ==> f= 1+1=2

Puntos frontera de la circunferencia ==> f=4

Luego el máximo se alcanza en todos los puntos de la circunferencia ( x^2+y^2=4, en el primer cuadrante)

y el mínimo en (1,1)

Saludos

Desde el móvil no puedo abrir el Editor de Ecuaciones, ni adjuntar gráficos.

Pero creo que es fácil de entender la región.

;)

;)