Problema de geometria analitica - la circunferencia

Lo primero que tenés que hacer es imaginarte la situación, te están dando una recta y te dicen que en el punto (1,4) (que pertenece a esa recta) la circunferencia es tangente. Si haces una imagen de lo que te piden (en borrador para interpretar los datos) te vas a dar cuenta que en realidad van a existir dos circunferencias que cumplan con ese requerimiento. Una que pase por "arriba" y otra que pase por "debajo" de dicha recta.

A partir de acá, supongo que hay varias formas de plantear el problema, no sé si la que voy a hacer es la más simple, pero es la que se me ocurre.

Sabemos que el punto dado es tangente a las circunferencias, por lo tanto el radio de las circunferencias será ortogonal a la recta dada (ya que el radio es tangente a todas las rectas tangentes).

Primero voy a escribir la recta original en forma y = mx + b, la recta queda

y = -4/3 x - 16/3

La recta perpendicular tendrá como pendiente el inverso multiplicativo cambiado de signo, o sea 3/4, por último sabemos que tiene que pasar por el punto (1,4) de esta forma calculamos la ordenada al origen

y= 3/4 x + b

4 = 3/4 * 1 + b

b = 13/4

Por lo que la recta perpendicular a la dada (que pasará por el centro de la circunferencia) es

y = 3/4 x + 13/4

Veamos los puntos que están a separación 5 del punto (1,4) y que pertenecen a esa recta

$$\begin{align}&P=(x_1,y_1)\\&5 = d(P,(1,4))=\sqrt{(x_1-1)^2+(y_1-4)^2}\\&\text{Además sabemos que }y_1 = 3/4x_1 + 13/4\\&5 = \sqrt{(x_1-1)^2+((\frac{3}{4}x_+\frac{13}{4})-4)^2}\\&5^2 = (x_1-1)^2+(\frac{3}{4}x_1 -\frac{3}{4})^2\\&\text{Para simplificar, en lugar de }x_1 \text{voy a decir } x\\&25  = x^2-2x+1+\frac{9}{16}x^2-\frac{9}{8}x+\frac{9}{16}\\&0=\frac{25}{16}x^2 -\frac{25}{8}x + \frac{25}{16}\\&\text{Los valores posibles son:}\\&x_1=5\\&x_2=-3\\&\text{Remplazamos esos valores de x en la ecuación de la recta ortogonal a la que nos dieron y obtenemos:}\\&y_1 = \frac{3}{4} \cdot 5 + \frac{13}{4}=7 \to Centro = (5,7)\\&y_2= \frac{3}{4} \cdot (-3) + \frac{13}{4}=1 \to Centro = (-3,1)\\&\text{Finalmente las expresiones de las dos circunferencias será:}\\&C_1: (x-5)^2+(y-7)^2=5^2\\&C_2: (x+3)^2+(y-1)^2=5^2\end{align}$$

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