Estudio de series y funciones especiales

y ' + y = 0;  todos la resolveríamos directamente así:

m+1=0;  m=-1;  

y = Ce^(-x);  que es la opción 1.

Para hacerla por Serie de potencias, partimos de:

y = ∑ (de 0 a ∞)  a(n) x^n;  derivamos:

y ' = ∑ (de 0 a ∞) a(n)*n*x^(n-1);  pero si n=0, la sumatoria vale 0:

y ' = ∑ (de 1 a ∞) a(n)*n*x^(n-1);   reescribimos la original:

∑ (de 1 a ∞) a(n)*n*x^(n-1) + ∑ (de 0 a ∞)  a(n) x^n = 0;

Para poner a todas las x con igual potencia, hacemos CDV:

Para la primera sumatoria:  k=n-1;  n=k+1;  para la segunda:  n=k:

∑ (de 1 a ∞) a(k+1)*(k+1)*x^k + ∑ (de 0 a ∞)  a(k) x^k = 0;  ahora debemos hacer comenzar ambas sumatorias en 1, por lo que:

∑ (de 1 a ∞) a(k+1)*(k+1)*x^k + ∑ (de 1 a ∞)  a(k) x^k + a(0)x^0= 0; 

como no hay coeficientes libres a la derecha:  a(0)=0;  quedando:

∑ (de 1 a ∞) a(k+1)*(k+1)*x^k + ∑ (de 1 a ∞)  a(k) x^k = 0; 

Para k=1:  2a(2)x + a(1)x=0;  o:  2a(2) = -a(1);  o:   a(2) = -a(1) / 2;

Para k=2:  3a(3)x^2 + a(2)x^2=0;  o:  a(3) = a(2)/3;  o:  a(3) = -a(1)/6;

Para k=3:  4a(4)x^3 + a(3)x^3=0;  o:  a(4) = -a(3)/4;  o:  a(4) = a(1)/24;

Observa que la constante ha sido llamada C(0) en tus respuestas, siendo entonces la correcta la número 3.

Correctas:  1 y 3.

Los pasos a seguir son:

1º Divide la ecuación entre y

2º Despeja y'

3º Integra en ambos lados de la ecuación con respecto a x. La parte derecha es trivial (no olvides la constante) y la parte izquierda es inmediata (logaritmo).

4º Para despejar la y del logaritmo, aplicas la funcion exponencial "e" a ambos lados de la ecuación y tendras la solución (es una de las soluciones que te dan).

Luego sustituye la función de la solución por su desarrollo en serie (lo encuentras en Internet muy fácilmente) y obtienes otra expresión que también aparece en las opciones.

Ánimo y suerte.