Ejercicio sobre funciones polinomica f(x)=x^2-6x+11.
Si f(x)=x^2-6x+11. Dar un dominio adecuado para que exista su inversa. Encontrar la misma indicando domino e imagen.
Sabemos que las funciones cuadráticas son simétricas respecto al eje que pasa por el vértice de la función.
El vértice de la función se puede hallar con la expresión
x_v = - 'b' / (2 'a') = -(-6) / (2*1) = 3
y_v = f(3) = 3^2 - 6*3 + 11 = 2
Vemos que el vértice está en el punto (3,2) y que además la función tiene forma de "U" (ya que el coeficiente principal es positivo). Esto significa entre otras cosas que la función no tiene raíces reales y que el intervalo de la imágen es [2, + inf)
Hay dos posibilidades para restringir el dominio y que exista su inversa y las posibilidades son:
Dom1 = (-Inf, 3]
Dom2 = [3, +Inf)
Si no llegas a interpretar el resultado, te recomiendo que dibujes la función (aunque sea los puntos principales)
Salu2
Aclarando lo siguiente:
Hay dos posibilidades para restringir el dominio y que exista su inversa y las posibilidades son:
Dom1 = (-Inf, 3]
Dom2 = [3, +Inf)
Ya esta bien hecho el ejercicio de la parte inversa?
No entendí como pudiste sacar los dos dominios :/
Para que una función sea justamente función para un valor del dominio debe existir un solo valor de la imagen. Piensa en la raíz cuadrada, donde para el valor 4 tenés 2 valores posibles en la imagen (+2, -2) y por eso la raíz cuadrada no es una función (salvo que la definas como solo los valores positivos, o solo los negativos).
En el gráfico esto lo ves, porque si trazas rectas paralelas al eje 'y', la función la debe cortar solo en un punto...
En este caso, tenemos que ver cuando las paralelas el eje 'x' cortan a la función en un solo punto, y vemos que una recta horizontal en y=2 corta a la función en un solo punto (justamente el punto (3,2) y si subes en el eje 'y' la empiezas a cortar en 2 puntos (uno a izquierda y otro a derecha del eje de simetría). Es por esta razón que hay que definir el dominio como una función que vaya del - infinito hasta el vértice (o desde el vértice hasta + infinito).
Espero que esto te aclare un poco más el resultado (insisto en que te hagas la gráfica para interpretar los resultados).
Creo que me había quedado pendiente el tema de la función inversa, para eso conviene escribir la función de otra forma
f(x) = x^2 - 6x + 11
Completamos cuadrados
f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 11
f(x) = (x - 3)^2 + 2
(Fijate que esa expresión es equivalente a la primera)
Ahora es "más fácil" despejar x
y = (x - 3)^2 + 2
y - 2 = (x - 3)^2
sqrt(y-2) = x-3
x = sqrt(y-2) + 3
Ahora volvemos a escribirla como función 'y(x)', que por supuesto tiene dos formas posibles (por lo que te decía antes de la raíz cuadrada) que serían:
Primer posibilidad:
y = + sqrt(y-2) + 3
Segunda posibilidad:
y = -sqrt(y-2) + 3
Nota: sqrt es la raíz cuadrada.
Salu2