Las manecillas de un reloj son de 5 pulgadas(El minutero) y 4 pulgadas(el horario) ¿Que tan rápido cambia la distancia a las 3

;)
Hola Jose Daniel!

Sabemos que la manecilla de minutos da 1 vuelta en una hora, y la mancilla de horas da una vuelta en 24 horas, entonces sus velocidades angulares son:
2π rad/1h = 2π rad/h 
2π rad/24h = π/12 rad/h 
La velocidad con la que cambia el angulo entre las manecillas sera la diferencia de sus velocidades angulares:
2π rad/h - π/12 rad/h = 23π/12 rad/h 

Por otro lado la distancia entre los extremos de las manecillas, que llamaré r, se calcula con el teorema del coseno:

$$\begin{align}&r^2=5^2+4^2-2 \times4 \times5\times \cos \alpha=41-40 \times \cos \alpha\\&\\&derivando \ implicitamente:\\&\\&2 r \frac {dr}{dt}=40 \ \sin \alpha \times \frac{d \alpha}{dt}\\&\\&donde\ \ \frac{d \alpha}{dt}= \frac{23 \pi}{12}\\&\\&A\ las \ 3\ ==> \alpha=90º==>r=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\\&\\&sustituyendo\\&2 r \frac {dr}{dt} \Bigg|_3=40 \ \sin \alpha \times \frac{d \alpha}{dt}\\&\\&2 \sqrt{41}  \frac{dr}{dt}=40 \times 1 \times \frac{23 \pi}{12}\\&\\&\frac {dr}{dt} \Bigg|_3= \frac{\sqrt {40}}{2 \sqrt{41}}\times \frac {23 \pi}{12}=18.80765\ \ pulg/h\\&\\&\end{align}$$

Saludos

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;)

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