Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado
Espacios Vectoriales
Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial P2
en P2: 1 -x, 3-x^2, x
Respuesta de Andrés L.
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Sí. Los polinomios que tienes son
$$\begin{align}&a_1(x)=1-x\\&a_2(x)=3-x^2\\&a_3(x)=x \end{align}$$Como combinación lineal de ellos puedes obtener la base típica de P2:
$$\begin{align}&p_1(x) = 1 = a_1(x)+a_3(x) \\&p_2(x)= x = a_3(x) \\&p_3(x)=x^2 = 3\cdot (a_1(x)+a_3(x)) - a_2(x) \\&\end{align}$$Como son conjuntos equivalentes, generan el mismo espacio.
He utilizado los subíndices 1, 2 y 3, pero en los textos suelen escribirse 0, 1 y 2 para que coincidan con el grado del polinomio.
