El porque de la regla de la divisibilidad del 7
Porque se hace así, tiene algún motivo. Mi profesor y yo lo hemos intentado averiguar pero no hemos podido, por qué
Respuesta de Karl Mat
Vamos por partes...
1) Números de una cifra tenemos: 0 y 7
2) Números de dos cifras
$$\begin{align}&\overline{ab}=7k\end{align}$$podemos descomponerlo así
$$\begin{align}&10a+b=7k\\&\\&\text{o su equivalente } 10a+b \equiv 0 \mod 7\\&\\&\bullet 10a = 7a+3a\to 10a\equiv 3a\mod 7 \Longrightarrow 3a+b\equiv 0\mod 7\\&\\&\text{Es decir que $3a+b$ debe ser múltiplo de 7}\end{align}$$3) número de 3 cifras
$$\begin{align}&\overline{abc}\equiv 0\mod 7\\&\\&(100a+10b+c)\equiv 0\mod 7\\&\\&\bullet \text{El residuo de 100 $\div$ 7 es 2}\\&\bullet \text{El residuo de 10 $\div$ 7 es 3}\\&\\&\text{Por ende }(2a+3b+c)\equiv 0\mod 7\\&\\&\text{Es decir que $2a+3b+c$ es múltiplo de 7}\end{align}$$4) número de 4 cifras
$$\begin{align}&\overline{a_1a_2a_3a_4}\equiv0\mod 7\\&\\&1000a_1+100a_2+10a_3+a_4\equiv0\mod 7\\&\\&\bullet \text{El residuo de 1000$\div$7 es 6 o $-1$}\\&\\&\text{Entonces }-a_1+3a_2+2a_1+1\equiv0\mod 7\end{align}$$5) retomemos el asunto
$$\bullet ~1\equiv1\mod 7\to \textit{el residuo de dividir 1 entre 7 es 1}\\
\bullet ~10\equiv3\mod 7\to \textit{el residuo de dividir 10 entre 7 es 3}\\
\bullet ~100\equiv2\mod 7\to \textit{el residuo de dividir 100 entre 7 es 2}\\ \\
\bullet ~1000\equiv-1\mod 7\to \textit{el residuo de dividir 1000 entre 7 es -1}\\
\bullet ~10000\equiv-3\mod 7\to \textit{el residuo de dividir 10000 entre 7 es -3}\\
\bullet ~100000\equiv-2\mod 7\to \textit{el residuo de dividir 100000 entre 7 es -2}\\
\bullet ~1000000\equiv1\mod 7\to \textit{el residuo de dividir 1000000 entre 7 es 1}\\
\vdots \\
\text{Notemos que hay cierto tipo de periocidad }\\ \\
\hspace{2cm}(1,2,3)(-1,-2,-3)(1,2,3)(-1,-2,-3)\cdots$$
Se me fue quise decir la periocidad (1,3,2)(-1,-3,-2)(1,3,2)(-1,-3,-2)...
$$\begin{array}{cc:c:c:c:c:c}
&\small{\times -2}&\small{\times -3}&\small{\times -1}&\small{\times 2}&\small{\times 3}&\small{\times 1}\\
\hline
\cdots&\Large{a_6}&\Large{a_5}&\Large{a_4}&\Large{a_3}&\Large{a_2}&\Large{a_1}
\end{array}$$
