1.- ¿Para qué valores de n se cumple la siguiente igualdad?∑_(i=1)^n▒〖= i.i!=(n+1)!-1〗
Me pueden ayudar a resolver estos
1.- ¿Para qué valores de n se cumple la siguiente igualdad? ∑ 𝑖 · 𝑖! 𝑛 𝑖=1 = (n + 1)!−1
2.- Demuestra que para cualquier natural n, n(n 2 -1) es un múltiplo de 6
1 Respuesta
Adriana, te dejo el segundo ya que el primero no llego a entender el enunciado
Hay dos formas de hacerlo:
a) Por inducción: y supongo que es la que te piden, pero yo no lo voy a resolver así
b) Analizando la expresión
$$\begin{align}&Tenemos\ que\\&n(n^2-1)\\&\text{El segundo es una diferencia de cuadrados, cuya expresión equivalente es}\\&n(n-1)(n+1)\\&\text{Los voy a acomodar distinto, no cambia nada, pero quiero que quede más claro algo...}\\&(n-1)n(n+1)\end{align}$$Y a este punto quería llegar, ya que se trata de 3 números consecutivos, de los cuales podemos decir por lo menos 2 cosas:
1) Al menos uno de ellos es par (o sea, divisible por 2)
2) Uno de ellos es divisible por 3
Supongo que sabés que un número que es divisible por 2 y por 3 simultáneamente es divisible por 6, por lo tanto la expresión original es múltiplo de 6.
Salu2
Hola
Me lo piden resolver por inducción el numero 2
Y el numero 1 ya lo puede resolver gracias
Te lo paso por Inducción pero cambia la calificación o será la última respuesta mía...
$$\begin{align}&Caso \ base\ (n=1) \text{ te lo dejo de tarea, pero si despejas en la expresión llegarás al resultado es 0 y 0 es múltiplo de 6}\\&P(n) \to^? P(n+1)\\&n(n^2-1) \ múltiplo\ 6 \to^?(n+1)((n+1)^2-1)\ múltiplo\ 6\\&(n+1)((n+1)^2-1) = (n+1)(n^2+2n)=(n+1)n(n+2)=n(n+1)(n+2)=\\&n(n^2+3n+2) = \text{ ...(este puede ser el paso clave y es que voy a restar y sumar 1 en el paréntesis)}\\&n(n^2-1+1+3n+2)=n(n^2-1+3n+3)=n(n^2-1)+n(3n+3)=\\&n(n^2-1)+3n(n+1) \text{Y acá es donde queríamos llegar, la parte izquierda de la suma es múltiplo de 6 por HI}\\&\text{Así que si probamos que la parte derecha también es múltiplo de 6, entonces toda la expresión será múltiplo de 6}\\&3n(n+1)\text{ es múltiplo de 6?}\\&\text{y la respuesta es sí, ya que es divisible por 3 (está el 3 en la expresión) y también es divisible}\\&\text{por 2, ya que o bien 'n' o bien 'n+1', alguno de ellos será par}\\&\text{Como la expresión es divisible por 2 y por 3 simultáneamente es divisible por 6 y quedó demostrado}\end{align}$$Salu2