¿Por qué se dice que el seno y el coseno son el inverso del angulo?

Claro. Para las funciones trigonométricas de un angulo, sen, cos, tg . ...se llama "invertirla" volver al angulo de origen . Invertir una de estas funciones significa devolver el angulo.

Ejemplo:  si tenes y= sen x = 0.866 ....la funcion inversa se llama arc. sen x = arc.sen (0.866) =60°. Esto lo haces anotando el nro. 0.866 en la calculadora y luego shift sen ... En muchos textos te ponen arc. Sen x = (sen x)^-1 ... pero lo correcto es escribirla como arc. Sen x. Así lo hago yo y lo enseño a los alumnos.

La función inversa aritmética del (sen x) seria = (sen x)^-1= (1/sen x) ... se denomina cosecante x ... y es otra función trigonometrica del angulo x . Te lo aclaro extensamente Karl Mat en su respuesta.

Parece que hay una pequeña confusión como un juego de palabras. Analicemos por partes lo que dices:

El coseno dice cuantas veces el radio del circulo entra en el cateto adyacente del triangulo

No es del triángulo, sino del ángulo (central), esto sería lo correcto

El coseno dice cuantas veces el radio del circulo entra en el cateto adyacente al ángulo central

Ahora expliquemos esa enredadera del inverso.

1) Coseno es una función que viene definida de la siguiente forma

$$\begin{align}&\cos : \mathbb{R}\to [-1,1]\end{align}$$

Cuyas propiedades son las conocidas:

1.1) es una función periódica 

$$\begin{align}&\cos(x+2\pi)=\cos x\end{align}$$

1.2) Si le hacemos una traslación es igual a la función seno

$$\begin{align}&\cos(x-\frac{\pi}{2})=\sin x\end{align}$$

1.3) Es continua en toda la recta real.

1.4) Es continuamente diferenciable en todo R

$$\begin{align}&\dfrac{d\cos x}{dx}=-\sin x\end{align}$$

Y así podemos continuar con más propiedades...

Luego debemos recordar que algunas funciones tienen inversa, así por ejemplo la función inversa de

$$\begin{align}&f(x)=x^3\end{align}$$

es 

$$\begin{align}&g(x)=\sqrt[3]x\end{align}$$

ya que la composición de ambas funciones nos da la función identidad

$$\begin{align}&f\circ g(x)=g\circ f(x)=x\end{align}$$

para cualquier x real. Sin embargo hay funciones que tienen inversa con ciertas restricciones, como por ejemplo

$$\begin{align}&h(x)=x^2\end{align}$$

Cualquiera sospecharía que la función inversa de h es 

$$\begin{align}&j(x)=\sqrt{x}\end{align}$$

Pero en este caso el dominio de j son todos los reales NO negativos, por eso j no es la inversa de h, pero si hacemos un ajuste como este

$$\begin{align}&h_1(x)=x^2~,~ \forall x\in [0,+\infty)\end{align}$$

entonces h1 si es la inversa de j para los número reales no negativos.

2) Ahora como coseno es una función sospecharíamos que esta debe tener una inversa, si no en todo su dominio, al menos en una parte de este. En efecto se definirá la inversa del coseno como arcocoseno de la siguiente forma

$$\begin{align}&\arccos: [-1,1]\to[0,\pi]\end{align}$$

Donde

$$\begin{align}&\arccos (\cos x)=x~,~\forall x\in[0,\pi]\\&\\&\cos (\arccos \chi) =\chi ~.~ \forall \chi\in[-1,1] \end{align}$$

Veamos las gráficas

Gráfica de la función coseno

Ahora solo centrémonos en el dominio [0, pi]

Luego la función arccoseno