¿Como demostrar espacios vectoriales reales?
1.- Los números reales con la suma y producto por escalar naturales
2.- R^2 con la suma usual pero el producto por escalar λ*(x, y) definido como el punto (x, y) rotado por λ grados alrededor del origen en dirección del reloj.
Mi profesor dijo que no eran espacios vectoriales, alguien me puede decir porque no lo son y que propiedad no se cumple para que no sean.
1 respuesta
Respuesta de Karl Mat
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1) El conjunto de los números naturales no es un cuerpo (o campo), lo que no concordaría con la definición de espacio vectorial.
2) Sean los números λ1 y λ2 en R entonces debería cumplirse
$$\begin{align}&\lambda_2[\lambda_1 (x,y)]=(\lambda_1\cdot\lambda_2) (x,y)\\&\\&\color{gray}{\lambda_2[\lambda_1 (x,y)]}= (x\cos (\lambda_1\lambda_2)+y\sin (\lambda_1\lambda_2) , -x\sin (\lambda_1\lambda_2)+y\cos (\lambda_1\lambda_2))\\&\\&\text{Por otra parte...}\\&\\&\lambda_2[\lambda_1 (x,y)]=\lambda_2(x\cos \lambda_1+y\sin \lambda_1 , -x\sin \lambda_1+y\cos \lambda_1)\\&\\&\color{gray}{\lambda_2[\lambda_1 (x,y)]}=([x\cos \lambda_1+y\sin \lambda_1]\cos \lambda_2+[-x\sin \lambda_1+y\cos \lambda_1]\sin \lambda_2 , -[x\cos \lambda_1+y\sin \lambda_1]\sin \lambda_2+[-x\sin \lambda_1+y\cos \lambda_1]\cos \lambda_2)\\&\\&\color{gray}{\lambda_2[\lambda_1 (x,y)]}=(x\cos(\lambda_1+\lambda_2)+y\sin(\lambda_1+\lambda_2) , -x\sin(\lambda_1+\lambda_2)+y\cos(\lambda_1+\lambda_2))\\&\\&\textbf{Evidentemente obtenemos una contradicción}\\&\\&(x\cos (\lambda_1\lambda_2)+y\sin (\lambda_1\lambda_2) , -x\sin (\lambda_1\lambda_2)+y\cos (\lambda_1\lambda_2))\not\equiv (x\cos(\lambda_1+\lambda_2)+y\sin(\lambda_1+\lambda_2) , -x\sin(\lambda_1+\lambda_2)+y\cos(\lambda_1+\lambda_2))\\&\end{align}$$Por ende la definición 2 no corresponde a un espacio vectorial.
