Si la madre te amenaza con poner una denuncia falsa, deberías de guardar las conversaciones con ella a través de los chats, grabar (en secreto, por supuesto) las conversaciones con ella (cara a cara o vía teléfono) donde se reflejen esas intenciones suyas.
Eso sí, si ella te denuncia, sería su trabajo (o bien decir, de su abogado) traer pruebas de que hubo violencia. Si no hay pruebas ni testigos, el caso podría quedarse cerrado. Pero en el caso que tú tuvieras pruebas de que ella está mintiendo y está poniendo una denuncia únicamente para que no consigas la custodia compartida, el juez puede interpretarlo como su intención consciente suya de alejar al padre de su hijo/-a, lo que podría ser un punto muy negativo para ella a la hora de decidir sobre la custodia.
De todos modos, si ves que sus intenciones son serias, deberías de pedir cita con un abogado especializado en el derecho de familia de tu comunidad, para que te asesore adecuadamente según tu caso en concreto, antes de que la denuncia esté interpuesta, ya que entonces todo el procedimiento podría tardar y mientras perjudicarte tanto a ti como a tu hijo.