Es relacionada con vectores en el espacio?

Tengo que determinar si es un conjunto vectorial y si no es, mencionar cuales son los axiomas que no lo cumplen:

El Conjunto de vectores los números racionales Q con la operación de suma, el conjunto de escalares los números enteros Z y la operación de multiplicación de escalar y vector la multiplicación usual.

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Pongamos los diez axiomas para ver si los cumplen los Números racionales y los enteros (Z) como escalares, con multiplicación usual.

  • Ley de composición interna: La suma de dos vectores de V pertenece a V.  NO CUMPLE:  Ej. 4+9=13 (4 y 9 racionales, 13 no es racional).
  • Ley de composición externa: v*k = vk perteneciente a V.  NO CUMPLE:  Ej:  4*3=12, 4=racional; 12=irracioinal.
  • Asociatividad V: (u+v)+w = u+(v+w);  cumple;
  • Asociatividad K: (k*l)*v = k*(l*v);  cumple;
  • Conmutatividad: u+v = v+u;  cumple;
  • Distributiva V: k(u+v) = ku + kv;  cumple;
  • Distributiva K: v(k+l) = vk + vl;  cumple;
  • Elemento neutro perteneciente a V: N+v=v;  cumple, con N=0;
  • Elemento neutro perteneciente a K: N*v=v;  cumple, con K=1;
  • Simétrico, opuesto o inverso: u + u’ = 0.  NO CUMPLE (4 es racional, pero (-4) no lo es en el campo de los Reales, por lo que no puede obtenerse el simétrico de cada vector (en este caso:  número racional).

Corrijo mi respuesta, que es errónea dado que no entiendo por qué tomé como "Raíz de 13, Raíz de 12, Raíz de -4" cuando en realidad eran simplemente 13, 12 y (-4), que son todos racionales (pueden escribirse como fracciones). Gracias a Gustavo por hacérmelo notar.

Reescribo corregido:

  • Ley de composición interna: La suma de dos vectores de V pertenece a V.  CUMPLE:  Ej. 4+9=13 (4 y 9 racionales, 13 es racional).
  • Ley de composición externa: v*k = vk perteneciente a V.  CUMPLE:  Ej:  4*3=12, 4=racional; 12=racional.
  • Asociatividad V: (u+v)+w = u+(v+w);  cumple;
  • Asociatividad K: (k*l)*v = k*(l*v);  cumple;
  • Conmutatividad: u+v = v+u;  cumple;
  • Distributiva V: k(u+v) = ku + kv;  cumple;
  • Distributiva K: v(k+l) = vk + vl;  cumple;
  • Elemento neutro perteneciente a V: N+v=v;  cumple, con N=0;
  • Elemento neutro perteneciente a K: N*v=v;  cumple, con K=1;
  • Simétrico, opuesto o inverso: u + u’ = 0.  CUMPLE (4 es racional, (-4) también).

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