Como comprobar por inducción matemática

Lo compruebas para el primer valor de n.

Si n=4 entonces es fácil comprobar que se verifica pues

$$\begin{align}&4^2=16\\&2^4=16\end{align}$$

Suponemos que es cierto para n, es decir, 

$$\begin{align}&n^2<=2^2\end{align}$$

Veamos que es cierto para n+1, es decir (n+1)^2 <= 2^(n+1)

(n+1)^2=n^2+2n+1

Pero 1<=n pues 4<=n

Entonces (n+1)^2<=n^2+2n+n = n^2 +3n

Pero como 3<=n

(n+1)^2<=n^2+2n+n = n^2 +3n <= n^2 + n ·n = n^2 + n^2 = 2n^2

Como suponíamos que n^2 <= 2^n por hipótesis de inducción concluimos que 

(n+1)^2<=n^2+2n+n = n^2 +3n <= n^2 + n ·n = n^2 + n^2 = 2n^2 <= 2· 2^n = 2^(n+1)

Por tanto queda demostrada la propiedad por inducción en n