Un Análisis de una función particular para identificar la relación entre derivada y diferencial

Un diferencial es un valor infinitesimal (muy pequeño). La derivada es la razón(fracción) de dos diferenciales. Es por eso que tiene la forma

$$\begin{align}&y'=\frac{dy}{dx}\end{align}$$

Fijate que si divides un diferencial entre otro (un numero muy pequeno entre otro) obtienes un valor "normal", finito.  

(x^3)'= 3x^2. En x=2 la derivada de x^3 es 3(2)^2=12, osea

$$\begin{align}&(x^3)'=\frac{dy}{dx}=12\\&\\&dy=12dx\end{align}$$

 Es decir que ese valor infinitesimal dy en la funcion x^3 crece 12 veces mas rapido de que el dx. Y tiene sentido porque la derivada te dice la pendiente de una funcion, 12 es una pendiente bastante alta, por lo que los cambios en y son mas grandes que los cambios en x