Duda de probabilidad. Distribución normal

$$\begin{align}&...\end{align}$$

Veamos...

$$\begin{align}&X - N(0, \sigma) \to Z = \frac{X}{\sigma} - N(0,1)\\&P(1 < X < e) = P(\frac{1}{\sigma} < \frac{X}{\sigma} < \frac{e}{\sigma})=\phi(\frac{e}{\sigma}) - \phi(\frac{1}{\sigma})\\&\text{En este punto se me ocurre probar con algunos valores de sigma, para ver que pasa}\\&\sigma = 1 \to  \phi(\frac{e}{1}) - \phi(\frac{1}{1}) = 0.155\\&\sigma = 2 \to  \phi(\frac{e}{2}) - \phi(\frac{1}{2}) = 0.221\\&\sigma = 10 \to  \phi(\frac{e}{10}) - \phi(\frac{1}{10}) = 0.06 \text{ (Está claro que el máximo está antes)}\\&\sigma = e \to  \phi(\frac{e}{e}) - \phi(\frac{1}{e}) = 0.198\\&\sigma = 2.5 \to  \phi(\frac{e}{2.5}) - \phi(\frac{1}{2.5}) = 0.206\\&\sigma = 2.3 \to  \phi(\frac{e}{2.3}) - \phi(\frac{1}{2.3}) = 0.213\\&\sigma = 1.8 \to  \phi(\frac{e}{1.8}) - \phi(\frac{1}{1.8}) = 0.224\\&\sigma = 1.5 \to  \phi(\frac{e}{1.5}) - \phi(\frac{1}{1.5}) = 0.218\\&etc\\&\end{align}$$

Y hasta ahí llegué, solo se me ocurre pensar que el número en cuestión está entre 1.8 y 2.0, pero no tengo los conocimientos matemáticos suficientes para deducirlo 'analíticamente', solo se me ocurre armar un xls con los distintos valores e ir probando

Salu2