¿Como puedo resolver estos ejercicios de vectores?
Necesito saber como resolver los siguientes ejercicios, pero no se como:
1) Sea v = (6, 8); encuentra un vector (vector unitario) que tenga la misma dirección que v y cuya magnitud sea igual a 1.
2) Sean M=(4,6) y N=(8,-14) el punto inicial y final de un vector; y sean P=(-4,-1) y Q=(-5,4) el punto inicial y final de otro vector. Demuestra que MN y PQ son vectores equivalentes.
3) Realiza la siguiente operación de vectores: a+b-c= , siendo los vectores:
a=(4, -2, 8)
b=(-4, 6, 6)
c=(10, 14, -10)
4) Calcula el producto punto o escalar de los siguientes vectores:
u=(14, 8, 2)
v=(6, -10, 4)
5) Calcula el producto cruz de los siguientes vectores:
Sea a= – 4i – 2j + 3k
b= 3i – 2j – 5k
2 Respuestas
1) Si tienes dos vectores que son linealmente dependientes entre si, tienen la misma dirección. En el caso de dos vectores son linealmente dependientes si uno es igual al otro multiplicado por un numero. Ejm: (1,2) es linealmente dependiente con (2,4) ya que (2,4)=2(1,4)
El ejercicio nos pide hallar un vector que tenga la misma dirección pero de longitud 1.
$$\begin{align}&v=(6,8)\\&\\&||v||= \sqrt{6^2+8^2}=10\end{align}$$Esa es la longitud del vector que te dan, un vector linealmente dependiente y de longitud 1 seria
$$\begin{align}&v_2=\frac{1}{10}(6,8)\end{align}$$Ya que si calculas la norma te va a dar 10, entre 10= 1
En general para hallar el vector unitario u correspondiente es:
$$\begin{align}&u=\frac{1}{||v||}v\\&\text{Donde ||v|| es la longitud del vector}\end{align}$$2) Dos vectores son equivalentes si son linealmentes dependientes. Ve lo que escribi arriba, Para hallar el vector MN debes hacer la resta entre esos dos puntos, lo mismo haces con los otros dos puntos para hallar el otro vector. Tienes que ver si uno se puede escribir como el otro multiplicado por un numero(escalar)
3) La suma y resta de vectores es sumar y restar componentes iguales. Primeras componentes con primeras componentes, segundas componentes con segundas componentes, etc.
4)El producto escalar entre dos vectores te devuelve un numero y es
$$\begin{align}&u.v=u_1.v_1+u_2.v_2+...\end{align}$$Es decir, tomas las primeras componentes y las multiplicas y la sumas con las segundas componentes multiplicadas, y repites cuantas componentes tengas
5) El producto vectorial entre dos vectores devuelve un nuevo vector que es perpendicular a ambos. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/producto-cruz.html Aqui explican lo que debes hacer
Cualquier duda, escribes
¡Gracias! ¡Excelente respuesta!, yo no buscaba solo los resultados, y lo que me has proporcionado me deja más claro lo que se debe hacer, te agradezco por tu valioso apoyo estimado Alejandro
Muy buena tu explicación Alejandro. Yo solo agregaría para el punto 1) que los componentes del vector unitario son los llamados " cosenos directores" ampliamente utilizados en la resolución de cuestiones de estática.