Halle todas las matrices que conmutan con A
$$\begin{pmatrix}1&2\\ \:3&4\end{pmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}a+2c=a+3b\\ b+2d=2a+4b\\ 3a+4c=c+3d\\ 3b+4d=2c+4d\end{bmatrix}$$Como puedo resolver el anterior sistema de ecuaciones para poder poner la respuesta en términos de matrices poner los valores por así decirlo donde están las x
Lo que hiciste está bien, solo te faltó seguirlo desarrollando, tenemos que:
a+2c=a+3b
b+2d=2a+4b
3a+4c=c+3d
3b+4d=2c+4d
Reacomodando tenemos
- 3b + 2c=0
2a + 3b - 2d=0
3a + 3c - 3d=0
3b - 2c = 0
Fijate que la primera y la última son iguales y que a la tercera la podemos dividir entre 3, por lo que quedarían:
-3b + 2c = 0
2a + 3b - 2d = 0
a + c - d = 0
Tenemos 4 ecuaciones con 3 incógnitas, por lo que el sistema tendrá infinitas soluciones
Triangulando la matriz llegamos a
a + c - d = 0
3b - 2c = 0
y todo lo demás es redundante
De la última podemos decir
c = 3/2 b
de la primera
d = a + 3/2 b
O sea que la matriz que cumple lo pedido es
a b
3/2b a + 3/2b
Salu2