Como resuelvo el siguiente problema matemático?

Interesante ejercicio, antes voy a dejarte un bosquejo para interpretar lo que piden...

Tenemos:

C: La central

F: La fábrica

D1: es la distancia más larga, pero la que menos pasa por el agua (que es el costo más alto)

D2: es la distancia más corta, pero pasa toda por el agua

x: Distancia horizontal, medida desde la orilla perpendicular a la central

C1+c2: es el camino general que estamos buscando tal que el costo sea mínimo, en sus límites, c1 + c2 será igual a d1 o a d2

Sabemos que la ecuación de costo será

$$\begin{align}&Costo = 50 c_1 + 30c_2\\&Además\\&c_1^2 = x^2 + 500^2 \to c_1 = \sqrt{x^2 + 250000}\\&c_2 = 2500 - x\\&Reemplazando\\&Costo = 50  \sqrt{x^2 + 250000} + 30 (2500-x)\\&Costo = 50  \sqrt{x^2 + 250000} + 75000-30x\\&\text{Derivando costo respecto a 'x'}\\&\frac{\delta Costo}{\delta x} = \frac{50x}{\sqrt{x^2+250000}} - 30\\&\text{Queremos que eso sea 0}\\&0 = \frac{50x}{\sqrt{x^2+250000}} - 30\\& 50x = 30 \sqrt{x^2+250000}\\&\text{Elevo todo al cuadrado}\\&2500x^2 = 900 (x^2+250000)\\&25x^2-9x^2=2250000\\&x^2=\frac{2250000}{16}\\&x = 375\end{align}$$

Creo que a partir de acá podrás seguirlo (avisa si no es así), pero te falta:

1: Calcular cuanto del tendido va por el río y cuanto por la orilla

2: Verificar que efectivamente el valor encontrado es un mínimo

Salu2