Demuestre que la distancia de un punto P a la recta L(p0.director D)

Recordemos esto

$$\begin{align}& \Pr _{\vec b}\vec a =  \dfrac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec b\|^2}\cdot \vec b\\&\\&\text{Cuyo módulo es } \left\|\Pr _{\vec b}\vec a\right\| =  \dfrac{\left|\vec a\cdot \vec b\right|}{\|\vec b\|}\end{align}$$

En este caso la distancia de P hacia la recta L es el módulo de la proyección ortogonal del vector P₀P sobre el vector D ortogonal, es decir

$$\begin{align}&d(P,L)=\left\|\Pr_{\vec{D}^\bot}\overrightarrow{P_0P} \right\|\\&\\&d(P,L)=\dfrac{\left|\overrightarrow{P_0P}\cdot \vec D^\bot\right|}{\left\|\vec D^\bot\right\|}\\&\\&d(P,L)=\dfrac{\left|\overrightarrow{P_0P}\cdot \vec D^\bot\right|}{\left\|\vec D\right\|}\\&\\&\text{Sabemos que si }\theta \text{ es el ángulo entre }\vec D\text{ y }\overrightarrow{P_0P} \text{ entonces:}\\&\\&\cos(90°-\theta) = \dfrac{\overrightarrow{P_0P}\cdot \vec D^\bot}{\|\overrightarrow{P_0P}\|\cdot \|\vec D^\bot\|}\\&\\&\sin\theta = \dfrac{\overrightarrow{P_0P}\cdot \vec D^\bot}{\|\overrightarrow{P_0P}\|\cdot \|\vec D^\bot\|}\\&\\&\overrightarrow{P_0P}\cdot \vec D^\bot = \|\overrightarrow{P_0P}\|\cdot \|\vec D^\bot\| \sin \theta\\&\\&\overrightarrow{P_0P}\cdot \vec D^\bot = \|\overrightarrow{P_0P}\|\cdot \|\vec D\| \sin \theta\\&\\&\overrightarrow{P_0P}\cdot \vec D^\bot = \left\|\overrightarrow{P_0P}\times \vec D\right\|\\&\\&\text{Por fin}\\&\\&\boxed{d(P,L)=\dfrac{\left\|\overrightarrow{P_0P}\times \vec D\right\|}{\left\|\vec D\right\|}}\\&\\&\end{align}$$