Demostración geometría vectorial, producto cruz

Demostremos

$$\begin{align}&\left\|\vec a \times \vec b\right\|=ab\sin\theta~~~~\cdots~\textit{($\theta$ es el ángulo entre los dos vectores)}\\&\\&\left\|\vec a \times \vec b\right\|^2=a^2b^2\sin^2\theta\\&\\&\left\|\vec a \times \vec b\right\|^2=a^2b^2(1-\cos^2\theta)\\&\\&\left\|\vec a \times \vec b\right\|^2=a^2b^2\left[1-\left(\dfrac{\vec a\cdot \vec b}{ab}\right)^2\right]\\&\\&\left\|\vec a \times \vec b\right\|^2=a^2b^2-(\vec a\cdot \vec b)^2\end{align}$$