Demostrar que la sucesión {a_n} es acotada por |x_0| y es decreciente, además, calcular el límite
Tengo un problema que dice lo siguiente:
Definamos una sucesión
$$\begin{align}&\{a_n\}_{n=1}^{\infty} \end{align}$$Como sigue: Elegimos x_0 que pertenezca a [-1,1], ponemos a_1=1 y para cada n>1 definimos
$$\begin{align}&a_n=a_{n-1}+\dfrac{1}{2}(x_0^2-a_{n-1}^2)\end{align}$$Muestra que la sucesión es decreciente y acotada por abajo por |x_0|. Calcula el límite.
Ya demostré que es decreciente (lo hice por inducción al decir que todo a_n<1 para -1<x_0<1) pero no tengo idea de cómo demostrar que es acotada por el valor absoluto de x_0. Después de calcular algunos valores tengo la idea de que el límite es |x_0| pero no sé como demostrarlo tampoco.
2 Respuestas
¿Por qué suponemos que a_n<o para todo n?
Al demostrar que es decreciente entonces obtengo que a_{n+1}<a_n para todo n y por definición de a_n entonces
$$\begin{align}&a_n\geq a_n+\dfrac{1}{2}(x_0^2-a_n^2) \implies |a_n| \geq |x_0|\end{align}$$Hasta ese punto solo logré demostrar que |a_n|>=|x_0| y después simplemente argumenté que para a_n>=0 entonces a_n queda acotada por abajo p0r |x_0|, pero no sé si eso sea correcto.
Está bien, por inducción también puedes ver que a_n pertenece a [0,1] por eso a_n>=0.
Tu demostración es correcta, lo que puse inmediatamente arriba es para darse cuenta que a_n>=0 para todo n natural, con lo que sirve para tu demostración.
¡Gracias!
Puesto que la sucesion es monótona y acotada, por el teorema de Bolzano - Weierstrass también es convergente, esta tiende a |x_0|
Fe de errata
$$\begin{align}&a_{p+2}=\frac{1}{2}(x^2+1)-\frac{1}{2}(a_{p+1}-1)^2\end{align}$$
Otro dato más... cuando |x_0| = 1 la sucesión {a_n} es {1} o sea constante lo que no contradice a que sea monótona. Con |x_0| < 1 la sucesión es estrictamente decreciente.
Arturo, si hiciste un par de ejercicios habrás visto que la sucesión
1) Siempre es positiva (no importa que valor de x_0 consideres)
2) El límite de la sucesión siempre es 0
Agregando a lo que ya demostraste que es decreciente, tenemos una sucesión que
1. Siempre empieza en 1
2. El límite siempre es 0
Por lo tanto NO es cierto que esté "acotada por abajo por |x_0|"
Si hacemos, por ejemplo, x_0 = 0.5, entonces a partir del n=3, todos los términos son menores a 0.5
Así que supongo que te faltó escribir algo en la sucesión para que eso que decís sea correcto. Lo que sí podrías demostrar es que siempre la sucesión está acotada en el intervalo (0,1] para cualquier valor de x_0 siempre que esté en el intervalo [-1,1]
Salu2
acabo de ver que tenía un error lo que había armado y que, efectivamente la serie se mantiene en valores positivos, es decreciente y el límite inferior es |x_0| (el superior ya sabemos que es a_1 = 1, ya que es decreciente)
Por lo que volvemos a tu duda inicial: "cómo demostrar que es acotada por el valor absoluto de x_0"
Tal vez salga por inducción desplazada (tenemos que empezar con n=2, ya que si lo hicieramos con n=1, entonces necesitaríamos a_0, que no está definida, aunque sabemos que
a_1 = 1 >= |x_0| para todo x_0 en [-1,1]
a_2 = a_1 + 1/2 (x_0^2 - a_1^2) = 1 + 1/2 (x_0^2 - 1) = 1/2 + x_0^2 / 2 y esto es mayor que |x_0| para todo x_0 en [-1, 1] (aunque tal vez haya que demostrarlo más formalmente)
Ahora vamos con la inducción
$$\begin{align}&P(n) \to ^?P(n+1)\\&a_n = a_{n-1}+\frac{1}{2}(x_0^2-a_{n-1}^2) \ge |x_0| \to^? a_{n+1} = a_{n}+\frac{1}{2}(x_0^2-a_{n}^2) \ge |x_0|\\&a_{n+1} = a_{n}+\frac{1}{2}(x_0^2-a_{n}^2) \ge |x_0| + \frac{1}{2}(x_0^2-a_n^2)\\&\text{Usé el paso inductivo en la desigualdad anterior, para completar lo anterior, habría}\\&\text{que verificar que} \frac{1}{2}(x_0^2-a_n^2)\ge0, \text{de esta forma podríamos seguir con}\\&|x_0| + \frac{1}{2}(x_0^2-a_n^2) \ge |x_0|\end{align}$$Eso que falta no lo veo tan sencillo y ahora tengo que irme por lo que te lo dejo igual escrito para ver si te ayuda a pensar y se te ocurre alguna otra forma de encararlo...
Sino veré si lo puedo agarrar en otro momento...
Salu2