Como desarrollar los siguientes ejercicios propuestos

Yolanda:

1) Estás en R2 y tienes 3 vectores, por lo que seguro serán dependientes

2) ¿Qué haz intentado? Hay un vector con muchos ceros, por lo que debería salir 'fácil' por determinantes ver el rango (ya te anticipo que la respuesta es que si generan R3, pero intenta resolverlo y plantea las dudas que te surjan)

Salu2

$$\begin{align}&S={(-3,2),(2,10),(4,-5)}\\&a_1 (-3,2)+a_2 (2,10)+ a_3 (4,-5)=(0,0,0)\\&\\&-3α₁ + 2α₂ + 4α₃= 0\\&2α₁ +10α₂-5α₃ = 0\\&det=[■(-3&2&4@2&10&-5)]\\&=(2)(-5)-(10)(4)=-50\\&\\&Para que el conjunto S genere el espacio r³, debe ser vectores linealmente independientes, los cuales se pueden expresar como una combinación lineal.\\&α₁(1,-2,2)+α₂(1,1,2)+α₃(0,0,1) = (0,0,0)  \\&a_1+ α₂   = 0\\&-2α₁ + α₂  = 0\\&2α₁ + 2α₂ + α₃ = 0\\&\\&El determinante formado por la matiz de coeficientes del sistema, si este dar distinto de cero el sistema el linealmente independiente.\\&\\&det=[■(1&1&0@-2&1&0@2&2&1)]\\&=1[(1)(1)-(2)(1)]+[(-2)(1)-(2)(0)]+0[(-2)(2)-(2)(1)]\\&=1(-1)+(-2)+0(-6)\\&=-3\\&Ahora podemos afirmar que el determinante es distinto de cero, lo que implica que S es linealmente independiente o que  genera a r^3 porque cualquier elemento de r^3 puede representarse de la siguiente manera \\&〖(x〗_0,y_0,z_0)=a_1 (1,1,0)+a_2 (-2,1,0)+a_3 (2,2,1)  \\&\\&Lo cual si se extrae en las 3 coordenadas del espacio genera un sistema de ecuaciones  \\&\end{align}$$

profe esto he desarrollado