Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo de vértices a(1,3), b(-3,1) y c(4,2)

Interpreto que la circunferencia es exterior al triángulo, ya que dice: "circunscripta". Podría resumirse todo a hallar el centro de una circunferencia que contenga a los tres puntos dados:

a(1,3), b(-3,1) y c(4,2).

Ecuación de la circunferencia:   (x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r^2;  sustituyo

a)  (x-1)^2 + (y-3)^2=r^2

b)  (x+3)^2 + (y-1)^2 = r^2

c)  (x-4)^2 + (y-2)^2=r^2;  tres ecuaciones, tres incógnitas:  resolución única.

Desarrollo:

a)  x^2-2x+1 + y^2-6x+9=r^2

b)  x^2+6x+9 + y^2-2y+1=r^2

cI  x^2-8x+16 + y^2-4y+4=r^2

Resto mam a) - b):  -8x-8 -4y+8=0;   o:  -8x-4y=0;  o:  2x+y=0

Resto mam b) - c):  14x-7 +2y-3=0;  o:  14x+2y-10=0;  o:  7x+y=5;

Resto mam ambos resultados anteriores:  -5x=-5;  x=1;  

Reemplazo en:  2x+y=0;  2+y=0;   y=(-2).

Tu centro está en:  (1; -2);  que es tu consigna.

Corroboramos:

a)  (x-1)^2 + (y-3)^2=r^2:;  0+25=5^2

b)  (x+3)^2 + (y-1)^2 = r^2:  16+9=5^2

c)  (x-4)^2 + (y-2)^2=r^2;   9 +16= 5^2;  es correcto.

Ten en cuenta que Gustavo te ha dado una respuesta magistral para hallar la circunferencia inscrita en el triángulo dado.