Ejercicio matemático sobre imagen de función

Esta función es una parábola con coeficiente principal positivo, por lo que tiene forma de 'U', lo que puedes hacer es encontrar el vértice y la imagen será desde ese punto, hacia arriba. (De la forma que la tienes escrita es fácil ver que el vértice es (1, -8), por lo que la imagen será [-8, + infinito)

Pero lo anterior solo sirve para 'ciertas funciones' (en particular en los polinomios se puede usar sabiendo como es la 'forma' del polinomio), pero en general si tienes una función cualquiera y quieres calcular su imagen lo que tienes que hacer es calcular la función inversa y ver donde NO está definida. Veámoslo con este ejercicio

$$\begin{align}&y = 2(x-1)^2 - 8\\&y+8=2(x-1)^2\\&\frac{y+8}2=(x-1)^2\\&\sqrt{\frac{y+8}2}=(x-1)\\&\sqrt{\frac{y+8}2}+1=x\\&\end{align}$$

y claramente esa función está definida para los números >=-8 lo que ya sabíamos.