Problema demostración números complejos Sea α ∈ C tal que |α| < 1...

Debes utilizar las propiedades del módulo de los números complejos:

$$\begin{align}&|\overline{\alpha}\cdot z| = |\overline{\alpha}| \cdot |z| = |\alpha|\cdot |z| \end{align}$$

También, 

$$\begin{align}&|\frac{a}{b}| = \frac{|z|}{|b|}\end{align}$$

Y, finalmente, la desigualdad triangular para el módulo: 

$$\begin{align}&|a+b| \leq |a|+|b|\end{align}$$

Con estas propiedades, la demostración es directa.