Problema relacionado a la ecuación de la circunferencia.

 P(12,7) y es tangente a la recta L:x-2y=2 en el punto T(8,3)

A)  Ecuación de la circunferencia (nuestra consigna):  (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2;

Siendo (a; b) las coordenadas del centro y r el radio.

Nos dan los puntos P y T, por lo que reemplazo en A:

(12-a)^2 + (7-b)^2 = r^2;  además:  (8-a)^2 + (3-b)^2=r^2;  al estar igualadas a r^2 hago:

(12-a)^2 + (7-b)^2 = (8-a)^2 + (3-b)^2;  opero:

144 -24a+a^2 + 49-14b+b^2 = 64-16a+a^2 +  9-6b+b^2;  simplifico:

144 -24a + 49-14b = 64-16a +  9-6b;  igualo a 0:

120 - 8a - 8b=0;  simplifico:

B)  15 - a - b =0;  o:  b= 15 -a;

También tenemos que la recta L y la circunferencia comparten el punto T, y además la misma tangente (o pendiente o primera derivada) en ese punto:

x-2y = 2;  o:  y = (x-2) / 2;  o:  y = (1/2)x - 1;  derivo:

dy/dx = 1/2;

Derivo a la ecuación de la circunferencia para luego igualarla a 1/2:

2(x-a) + 2(y-b)y  = 0;  o:  (x-a) + (y-b) y' =0;  y' = (a-x)/(y-b);

Tener en cuenta que (a-x) = - (x-a), que pasó a la derecha restando. 

Reemplazo en el punto T:   1/2 = (a-8) / (3-b);  o:  3-b = 2(a-8);  3 - [2(a-8)] = b;

Reemlazo en B)  b= 15-a:  15 - a = 3 - [2(a-8)];

12 - a = -2a + 16;  a = 4:

Si b= 15-a;  b= 15-4;  b=11

Reemplazo en A):  (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2; en el punto P:

(12-4)^2 + (7-11)^2 = r^2; 

64 + 16 = r^2;  r^2=80; 

Tu respuesta:  (x-4)^2 + (y-11)^2 = 80