Estadística, distribución normal ejercicio propuesto.
El gerente de personal de una gran compañía requiere que los postulantes a un puesto efectúen una prueba de aptitud y que en ella obtengan una calificación mínima de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con una media de 485 y desviación estándar de 30: a) ¿Qué porcentaje de postulantes aprobará la prueba? B) Si aquellos postulantes que obtienen un puntaje comprendido entre 471 y 499 pueden optar a una segunda oportunidad, y un total de 1200 postulantes rindió la primera prueba, ¿cuántos de los 1200 postulantes tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez? C) Si el puntaje de la segunda prueba se relaciona con el puntaje de la primera prueba a través de la expresión: Y=1.25 X + 2.5, donde Y es el puntaje en la segunda prueba y X es el puntaje obtenido en la primera prueba, determine la probabilidad de que en el segunda prueba un postulante cualquiera elegido al azar obtenga el puntaje aprobatorio de 500 puntos o más. D) Determine un puntaje “k” correspondiente al percentil 90 de la distribución. Interprete.
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a) Para calcular el porcentaje de postulantes que aprobarán la prueba, necesitamos calcular la probabilidad de obtener un puntaje de 500 o más. Esto puede hacerse utilizando la función de densidad de probabilidad normal, donde Z = (X-μ) / σ, X es la calificación, μ es la media y σ es la desviación estándar. En este caso, μ = 485 y σ = 30.
Z = (500 - 485) / 30 = 1.5
La probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga una calificación de 500 o más es de 0.9332, que es el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad normal para Z>1.5. Por lo tanto, el porcentaje de postulantes que aprobarán la prueba es del 93.32%.
b) La cantidad de postulantes que tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez sería aquellos cuyo puntaje está comprendido entre 471 y 499. Para calcular esta cantidad, primero encontraremos la probabilidad de obtener un puntaje de 471 a 499.
Z = (471 - 485) / 30 = -1.03 Z = (499 - 485) / 30 = 0.63
La probabilidad de obtener un puntaje entre 471 y 499 es de 0.8542 - 0.8368 = 0.0174. Por lo tanto, el número de postulantes que tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez es de 0.0174 * 1200 = 20.88, que redondeado a la cifra más cercana sería 21.
c) Para calcular la probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga un puntaje aprobatorio de 500 o más en la segunda prueba, necesitamos conocer la distribución de las calificaciones en la segunda prueba. La segunda prueba es relacionada con la primera prueba a través de la expresión Y = 1.25X + 2.5, por lo que podemos calcular la media y la desviación estándar para la segunda prueba.
La media para la segunda prueba sería μ2 = 1.25μ1 + 2.5 = 1.25 * 485 + 2.5 = 612.5 La desviación estándar para la segunda prueba sería σ2 = 1.25σ1 = 1.25 * 30 = 37.5
Después, podemos calcular Z para un puntaje aprobatorio de 500 en la segunda prueba.
Z = (500 - 612.5) / 37.5 = -2.67
La probabilidad de obtener un puntaje de 500 o más en la segunda
Prueba es de 0.0038, que es el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad normal para Z>-2.67. Por lo tanto, la probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga un puntaje aprobatorio de 500 o más en la segunda prueba es del 0.38%.
d) El puntaje "k" correspondiente al percentil 90 de la distribución es el puntaje que separa el 90% de los postulantes con calificaciones más altas del 10% restante con calificaciones más bajas. Esto puede calcularse utilizando la función inversa de la función de distribución acumulada normal.
El percentil 90 es el valor de Z para el cual el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad normal para Z>Z es igual a 0.10. En otras palabras, Z es el valor que divide al 10% de la población en el lado izquierdo de la curva y el 90% restante en el lado derecho.
Z = 1.28
El puntaje k correspondiente al percentil 90 es k = μ + Zσ = 485 + (1.28 * 30) = 553.4.
Interpretación: El 93.32% de los postulantes aprobarán la prueba con un puntaje de 500 o más. Solo 21 postulantes tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez, ya que obtuvieron un puntaje comprendido entre 471 y 499 en la primera prueba. La probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga un puntaje aprobatorio de 500 o más en la segunda prueba es del 0.38%. El puntaje k correspondiente al percentil 90 de la distribución es 553.4, lo que significa que solo el 10% de los postulantes tendrán un puntaje menor que 553.4.
