Estadística, distribución normal ejercicio propuesto.
El gerente de personal de una gran compañía requiere que los postulantes a un puesto efectúen una prueba de aptitud y que en ella obtengan una calificación mínima de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con una media de 485 y desviación estándar de 30: a) ¿Qué porcentaje de postulantes aprobará la prueba? B) Si aquellos postulantes que obtienen un puntaje comprendido entre 471 y 499 pueden optar a una segunda oportunidad, y un total de 1200 postulantes rindió la primera prueba, ¿cuántos de los 1200 postulantes tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez? C) Si el puntaje de la segunda prueba se relaciona con el puntaje de la primera prueba a través de la expresión: Y=1.25 X + 2.5, donde Y es el puntaje en la segunda prueba y X es el puntaje obtenido en la primera prueba, determine la probabilidad de que en el segunda prueba un postulante cualquiera elegido al azar obtenga el puntaje aprobatorio de 500 puntos o más. D) Determine un puntaje “k” correspondiente al percentil 90 de la distribución. Interprete.
a) Para calcular el porcentaje de postulantes que aprobarán la prueba, necesitamos calcular la probabilidad de obtener un puntaje de 500 o más. Esto puede hacerse utilizando la función de densidad de probabilidad normal, donde Z = (X-μ) / σ, X es la calificación, μ es la media y σ es la desviación estándar. En este caso, μ = 485 y σ = 30.
Z = (500 - 485) / 30 = 1.5
La probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga una calificación de 500 o más es de 0.9332, que es el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad normal para Z>1.5. Por lo tanto, el porcentaje de postulantes que aprobarán la prueba es del 93.32%.
b) La cantidad de postulantes que tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez sería aquellos cuyo puntaje está comprendido entre 471 y 499. Para calcular esta cantidad, primero encontraremos la probabilidad de obtener un puntaje de 471 a 499.
Z = (471 - 485) / 30 = -1.03 Z = (499 - 485) / 30 = 0.63
La probabilidad de obtener un puntaje entre 471 y 499 es de 0.8542 - 0.8368 = 0.0174. Por lo tanto, el número de postulantes que tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez es de 0.0174 * 1200 = 20.88, que redondeado a la cifra más cercana sería 21.
c) Para calcular la probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga un puntaje aprobatorio de 500 o más en la segunda prueba, necesitamos conocer la distribución de las calificaciones en la segunda prueba. La segunda prueba es relacionada con la primera prueba a través de la expresión Y = 1.25X + 2.5, por lo que podemos calcular la media y la desviación estándar para la segunda prueba.
La media para la segunda prueba sería μ2 = 1.25μ1 + 2.5 = 1.25 * 485 + 2.5 = 612.5 La desviación estándar para la segunda prueba sería σ2 = 1.25σ1 = 1.25 * 30 = 37.5
Después, podemos calcular Z para un puntaje aprobatorio de 500 en la segunda prueba.
Z = (500 - 612.5) / 37.5 = -2.67
La probabilidad de obtener un puntaje de 500 o más en la segunda
Prueba es de 0.0038, que es el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad normal para Z>-2.67. Por lo tanto, la probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga un puntaje aprobatorio de 500 o más en la segunda prueba es del 0.38%.
d) El puntaje "k" correspondiente al percentil 90 de la distribución es el puntaje que separa el 90% de los postulantes con calificaciones más altas del 10% restante con calificaciones más bajas. Esto puede calcularse utilizando la función inversa de la función de distribución acumulada normal.
El percentil 90 es el valor de Z para el cual el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad normal para Z>Z es igual a 0.10. En otras palabras, Z es el valor que divide al 10% de la población en el lado izquierdo de la curva y el 90% restante en el lado derecho.
Z = 1.28
El puntaje k correspondiente al percentil 90 es k = μ + Zσ = 485 + (1.28 * 30) = 553.4.
Interpretación: El 93.32% de los postulantes aprobarán la prueba con un puntaje de 500 o más. Solo 21 postulantes tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez, ya que obtuvieron un puntaje comprendido entre 471 y 499 en la primera prueba. La probabilidad de que un postulante cualquiera obtenga un puntaje aprobatorio de 500 o más en la segunda prueba es del 0.38%. El puntaje k correspondiente al percentil 90 de la distribución es 553.4, lo que significa que solo el 10% de los postulantes tendrán un puntaje menor que 553.4.
