Otra forma de razonarlo. Consideremos que el lado del cuadrado recortado será la altura del prisma. Su volumen será:
a) V= (60cm - 2h)*(30cm-2h)*h;
V= (1800cm^2 - 120cm*h - 60cm*h)*h;
V= 1800 cm^2 * h - 180 cm*h^2; vemos que es correcta la unidad: cm^3 y que además es una parábola cuadrática invertida (término cuadrático negativo), por lo que en su vértice tendrá el máximo.
Derivamos dV/dh = 1800 cm^2 - 360 cm*h; igualamos a 0:
1800 cm^2 = 360 cm * h; despejamos h:
1800 cm^2 / 360 cm = h;
h=5cm; para el volumen máximo. Reemplazo en a):
V(máx) = (60cm-10cm) * (30cm - 10 cm) * 5 cm;
V(máx) = 50 cm * 20 cm * 5 cm;
V(máx) = 5000 cm^3
Podemos analizar V=(60-2h)(30-2h)h, que es una parábola cúbica con un cero cuando h=0 y otro cero cuando h=15 (obviamente al hacerse (30-x*15)=0. El tercer cero sería cuando h=30, pero esto es imposible de lograr con una lado de 30 cm, al que no se le puede restar 60 cm. Puedes observar la gráfica en:
https://www.wolframalpha.com/input?i=Plot+y%3D%2860+-+2x%29*%2830-2x%29*x%3B&lang=es
Muy bien Norberto. A mi me debería dar lo mismo. Por ahí vos interpretas mi error de razonamiento. Me aclararías, por favor. Abrazo. ! - albert buscapolos Ing°
Hola Albert, gracias por la invitación a revisar tu razonamiento (je,je¡¡ como si yo supiera). Te aclaro que no me fue nada fácil descubrirlo. Cuando decís que la superficie de la base del prisma (que luego será multiplicada por x para hallar V) es (1800 - 4x^2), en realidad estás obteniendo la superficie de un plano en forma de cruz, al que se le han restado las cuatro esquinas (que podría valer para cualquier forma de base también). PERO estás olvidando que las cuatro "aletas" que formarán las caras laterales del prisma serán plegadas hacia arriba y por lo tanto también hay que restarlas de la superficie (1800-4x^2). - Norberto Pesce
Quedaría entonces: V=x* [(1800-4x^2) - 2*x*(60-2x) - 2*x*(30-2x)]; desarrollando:V=x* (1800-4x^2 - 120x + 4x^2 - 60x + 4x^2). V= x * (1800 - 180x + 4x^2); Finalmente: V= 1800x - 180x^2 + 4 x^3.Cuál es tu opinión? - Norberto Pesce