Tengo una duda en matemáticas 2
El precio de venta de un artículo es 200 - 0.2x unidades de dinero, donde por es el número de artículos que se producen en un día. Si el costo de producir y vender x artículos por día es C = 60x + 12,000 unidades de dinero. ¿Cuántos artículos se deben producir y vender en un día para que la utilidad sea máxima?
1 respuesta
X : número de artículos producidos diariamente.
200 - 0.2x : precio de cada artículo.
x*(200-0.2x) : Ingreso total diario al vender x artículos.
60x-12000: Costo total diario al producir x artículos.
Utilidad = Ingreso diario - Costo diario:
U = x*(200-0.2x) - (60x-12000); opero:
U = -0.2x^2 + 200x - 60x + 12000;
U = -0.2x^2 + 140x + 12000; es una parábola cuadrática con vértice superior (máximo) porque el coeficiente de x^2 es negativo. Derivo:
dU/dx = -0.4x + 140; igualo a cero: 140 = 0.4x;
x = 350.
Puedo corroborar que es un máximo con la segunda derivada: d2U/dx^2 = -0.4; valor negativo para cualquier valor de x, lo que indica que la gráfica siempre tiene concavidad inferior.
La gráfica de la función:
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+y%3D-0.2x%5E2+%2B+140x+%2B12000&lang=es
Esto es matemáticamente correcto, pero llama la atención que la función de Costo tenga a 12000 restando: esto nos lleva a que si producimos y vendemos cero artículos hay una ganancia de 12000 unidades de dinero. Lo habitual es que este valor esté sumando en el costo, y fuera un costo fijo independientemente de la producción ("si no producimos, igual tenemos una pérdida").
