Aceleración Variable
Tengo un problema con la aceleración variable, no se como abordar un problema, donde una partícula de masa "m" esta ubicada inicialmente en reposo a una altura "h" conocida, dejándola caer en que tiempo llegara a la tierra, considerando que la aceleración de gravedad varia con la "1/r^2" (r la distancia del objeto de masa "m" al centro de la tierra), se que hay que integrar pero no se como plantearlo.
1 respuesta
Respuesta de hiperion
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Como bien sabrás la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.
En este caso tenemos una aceleración que depende de la velocidad a=a(r). Entonces: dv/dt = a(r) Que no podeos integrar directamente.
Vamos a hacer lo siguiente, dv/dt=(dv·dr)/(dr·dt), verdad? y como dr/dt=v entonces v·dv/dr = dv/dt
Entonces: vdv/dr = a(r)
Que ya sí podemos integrar multiplicando por dr
Si quieres vamos a hacer un inciso sobre lo que hemos hecho antes. Teníamos una aceleración que dependía de la posición igualada a dv/dt. En un principio pensamos que la v dependerá del tiempo v = v(t) . Pero nos sería más útil que dependiese de la posición, así que lo intentamos poner como v = v(r(t)). Al hacer la derivada con respecto al tiempo aplicando la regla de la cadena nos saldría directamente dv/dr·dr/dt
Bueno, espero que te haya quedado claro ese cambio, si no vuelve a preguntarme ;)
Al tener vdv = a(r)dr podemos integrar y podemos sacar la constante de integración imponiendo que para r=h v=0.
Así sacaríamos v en función de la posición. Como a su vez v= dr/dt podemos volver a integrar y tendríamos la posición en función del tiempo, con lo que ya podríamos calcular el tiempo que tardará en caer.
Inténtalo de nuevo a ver si con esta indicación te sale. Si sigues teniendo dudas lo hacemos más detalladamente, ¿vale? Ten cuidado con los signos que le pones a la velocidad y aceleración, tienen que concordar con el sist de ref que elijas.
En este caso tenemos una aceleración que depende de la velocidad a=a(r). Entonces: dv/dt = a(r) Que no podeos integrar directamente.
Vamos a hacer lo siguiente, dv/dt=(dv·dr)/(dr·dt), verdad? y como dr/dt=v entonces v·dv/dr = dv/dt
Entonces: vdv/dr = a(r)
Que ya sí podemos integrar multiplicando por dr
Si quieres vamos a hacer un inciso sobre lo que hemos hecho antes. Teníamos una aceleración que dependía de la posición igualada a dv/dt. En un principio pensamos que la v dependerá del tiempo v = v(t) . Pero nos sería más útil que dependiese de la posición, así que lo intentamos poner como v = v(r(t)). Al hacer la derivada con respecto al tiempo aplicando la regla de la cadena nos saldría directamente dv/dr·dr/dt
Bueno, espero que te haya quedado claro ese cambio, si no vuelve a preguntarme ;)
Al tener vdv = a(r)dr podemos integrar y podemos sacar la constante de integración imponiendo que para r=h v=0.
Así sacaríamos v en función de la posición. Como a su vez v= dr/dt podemos volver a integrar y tendríamos la posición en función del tiempo, con lo que ya podríamos calcular el tiempo que tardará en caer.
Inténtalo de nuevo a ver si con esta indicación te sale. Si sigues teniendo dudas lo hacemos más detalladamente, ¿vale? Ten cuidado con los signos que le pones a la velocidad y aceleración, tienen que concordar con el sist de ref que elijas.
