¿Cómo encontrar el ángulo entre dos vectores?
Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitudes cuando su resultante forma un angulo de 50° con el vector mayor.
Respuesta de pollux_troy
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Disculpa la demora, pero durante el fin de semana no estuve disponible y ayer me llenaron con otras preguntas... ahora la resolución a tu problema:
Supongamos que la fuerza mayor (10) coincide con el eje POR en el primer cuadrante y que forma 50º con la fuerza resultante. La segunda fuerza (8)por ende debería estar en el segundo cuadrante formando un angulo de (Q+40)º debido a que el para formar el angulo recto con el eje Y faltan 40º
Entonces tenemos que, sumando fuerzas en los mismos ejes, nos queda una ecuación de 2x2, para razones de visibilidad supondremos Q el angulo formado entre la fuerza de 8 y el eje Y
F*sen(50º)=8*cos(Q) ==> cos Q = (F/8)*sen 50º
F*cos(50º)=10-8*sen(Q) ==> sen Q = (F*cos 50º - 10)/8
sabemos que (cos X)²+(sen X)²=1, entonces, elevando al cuadrado cada expresion y sumando tenemos que:
(cos Q)² + (sen Q)² = (F/8)² * (sen 50º)² + [(F*cos 50º -10)/8]²
eliminamos parentesis y denominadores, entonces la ecuacion sería:
1* 8² = F²* (sen 50º)² + F²* (cos 50º)² - 20*F*cos 50º + 100
64= F²[(sen 50º)² + (cos 50º)²) - 20*F*cos 50º + 100
F² - 12.856*F +36 = 0
Utilizando soluciones para ecuaciones cuadraticas, llegamos a que:
F1 = 8,734 y F2 = 4,122
Reemplazando en la primera ecuacion tenemos que:
F*sen 50º = 8 cos Q
Q1 = 66,75º y Q2 = 33,25º
Ambas respuestas son validas para el ejercicio.... ahora bien, se necesita el angulo total entre los 2 vectores, tenemos el angulo entre el vector de 10 y el vector final, y entre el vector de 8 y el eje Y, por lo tanto, el angulo final sería
angulo 1 entre vectores = 50º + 40º + 66,75º = 156,75º
angulo 2 entre vectores = 50º + 40º + 33,25º = 123,25º
Supongamos que la fuerza mayor (10) coincide con el eje POR en el primer cuadrante y que forma 50º con la fuerza resultante. La segunda fuerza (8)por ende debería estar en el segundo cuadrante formando un angulo de (Q+40)º debido a que el para formar el angulo recto con el eje Y faltan 40º
Entonces tenemos que, sumando fuerzas en los mismos ejes, nos queda una ecuación de 2x2, para razones de visibilidad supondremos Q el angulo formado entre la fuerza de 8 y el eje Y
F*sen(50º)=8*cos(Q) ==> cos Q = (F/8)*sen 50º
F*cos(50º)=10-8*sen(Q) ==> sen Q = (F*cos 50º - 10)/8
sabemos que (cos X)²+(sen X)²=1, entonces, elevando al cuadrado cada expresion y sumando tenemos que:
(cos Q)² + (sen Q)² = (F/8)² * (sen 50º)² + [(F*cos 50º -10)/8]²
eliminamos parentesis y denominadores, entonces la ecuacion sería:
1* 8² = F²* (sen 50º)² + F²* (cos 50º)² - 20*F*cos 50º + 100
64= F²[(sen 50º)² + (cos 50º)²) - 20*F*cos 50º + 100
F² - 12.856*F +36 = 0
Utilizando soluciones para ecuaciones cuadraticas, llegamos a que:
F1 = 8,734 y F2 = 4,122
Reemplazando en la primera ecuacion tenemos que:
F*sen 50º = 8 cos Q
Q1 = 66,75º y Q2 = 33,25º
Ambas respuestas son validas para el ejercicio.... ahora bien, se necesita el angulo total entre los 2 vectores, tenemos el angulo entre el vector de 10 y el vector final, y entre el vector de 8 y el eje Y, por lo tanto, el angulo final sería
angulo 1 entre vectores = 50º + 40º + 66,75º = 156,75º
angulo 2 entre vectores = 50º + 40º + 33,25º = 123,25º
