Calculo de probabilidades
Es un juego muy común y quiero saber la posibilidad que tiene un jugador de ganar según esto:
Números del 00 al 99
El jugador tiene una tarjeta con 12 números comprendidos entre el 00 y el 99
se retiran 30 bolillas con números comprendidos entre el 00 y el 99
dentro de esas 30 bolillas el jugador deberá acertar los doce números de su boleto.
Agradezco cualquier ayuda. Es urgente.
Números del 00 al 99
El jugador tiene una tarjeta con 12 números comprendidos entre el 00 y el 99
se retiran 30 bolillas con números comprendidos entre el 00 y el 99
dentro de esas 30 bolillas el jugador deberá acertar los doce números de su boleto.
Agradezco cualquier ayuda. Es urgente.
Respuesta de eudemo
1
<%=Texto%>
La forma de calcularla no es complicada teniendo en cuenta que:
Cuando los resultados de un experimento son equiprobables, la probabilidad de obtener un resultado favorable es:
Número de casos favorables/Número de casos posibles
El conjunto de todos los casos posibles se llama espacio muestral.
La forma de comenzar este problema, depende de cómo definamos los casos posibles, es decir de cómo definamos nuestro espacio muestral.
Si pensamos los números saliendo del bolillero de a uno por vez y consideramos el orden en que van saliendo debemos aplicar probabilidades compuestas y condicionadas.
El problema se simplifica bastante si tenemos en cuenta que:
Una vez que se extrajeron los 30 números, para saber si gano o perdió no importa el orden en que salieron esos números, sólo importa cuales son.
La cantidad de posibles conjuntos de 30 números extraídos de 100 son las:
Combinaciones de 100 elementos en 30 lugares.
Se trata de combinaciones sin repetición porque cuando una bolilla sale del bolillero no se vuelve a introducir. Además son todos equiprobables, justamente porque los números no se pueden repetir. (Atención: si tiramos un dado 2 veces es más probable obtener un tres y un cuatro que dos cuatros pero en el dado se pueden repetir los números que van saliendo ).
Para calcular este número combinatorio hacemos las
Combinaciones de 100 elementos en 30 lugares:
C(100,30)= 100!/30!(100-30)!
Numerillo que da aproximadamente 2,93 10^25
De todos estos posibles resultados, ¿cuántos contienen los 12 números del boleto?
Ahora de los 30 números conocemos 12 y solo podemos variar los restantes 18 que no están en el boleto. A esos 18 los podemos elegir entre 100-12=88 posibles números.
Entonces la cantidad de posibles combinaciones ganadoras son las
Combinaciones de 88 elementos en 18 lugares
C(88.18)= 88!/18!(88-18)! (aproximadamente 2,4 10^18)
Ahora podemos calcular la probabilidad de ganar como el cociente
P=C(88,18)/C(100,30)
Software Matemática de por medio esto da: 29/352191868
Es decir algo menos que una probabilidad entre 12.144.547
-----------------------------------------------------------
Si en lugar de considerar los resultados no-ordenados consideramos los posibles resultados teniendo en cuenta el orden en que van saliendo los números, las combinaciones se transforman en variaciones, y las probabilidades de que salga un números son condicionadas a que no halla salido antes. Por supuesto se obtiene el mismo resultado aunque es un calculo innecesariamente más largo.
Cualquier cosa me mandas otra pregunta.
Saludos
Eudemo
La probabilidad de que se den varios hechos independientes también es igual al producto de las probabilidades, pero ese no es el caso que nos ocupa.
En este caso se trata nos interesa un numero, solo en caso de que en los anteriores ya se ha acertado. Esto es una probabilidad condicional
Si llamamos:
P(A) a la probabilidad de acertar al 1er numero
P(B) la probabilidad de acertar al 2do
... etc
P(B/A) la probabilidad de acertar al 2do en caso de haber acertado al 1ro
P(C/AB) la probabilidad de acertar al 3ro en caso de haber acertado al 1ro y 2do
... etc
Entonces la probabilidad de acertar al:
1ro y al 2do es P(AB)=P(A).P(B/A)
1ro 2do y 3ro es P(ABC)=P(A).P(B/A)P(C/AB)
1ro 2do 3ro y4to es: P(ABCD)= P(A).P(B/A).P(C/AB).P(D/ABC)
En fin, la probabilidad P(ABCDEFGHIJKL) es el producto de doce factores que salvoel primero son probabilidades condicionadas
Primero vamos a suponer que se retiran SOLO 12 bolillas
Antes de extraer la primera bolilla en el bolillero hay 100 bolillas (0 a 99) y en la tarjeta hay 12 números. La probabilidad de acertar es:
Numero de casos posibles/número de casos favorables=12/100
Si no sale ninguno de los anotados en la tarjeta, entonces ya perdió.
Si sale un número de los de la tarjeta, como no puede volver a salir, lo tachamos de la tarjeta y así nos quedan once números en la tarjeta. Por otra parte en el bolillero quedan 100-1=99 números. Entonces:
Al extraer el segundo la probabilidad de acertar es de 11/99
Si acierta el segundo, al extraer el tercero la probabilidad de acertar es de 10/98
Si acierta el tercero, al extraer el cuarto la probabilidad de acertar es de 9/97
Si acierta el cuarto, al extraer el quinto la probabilidad de acertar es de 8/96
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Si acierta el décimo, al extraer el onceavo la probabilidad de acertar es de 1/89
Si acierta el onceavo, al extraer el doceavo la probabilidad de acertar es de 1/89
Para que TODOS estos hechos se sucedan en forma consecutiva, la probabilidad se llama probabilidad compuesta y es igual al producto de todas las anteriores.
Aclaración :
=12/100x11/99x10/98x9/97x8/96x7/95x6/94x5/93x4/92x3/91x2/90x1/89=
=(2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12)/(89x90x91x92x93x94x95x96x97x98x99x100)
y esta cuentecilla da
=1/1050421051106700
es decir que hay una posibilidad entre1.050.421.051.106.700 de
Sin orden
C88/18
C100/30
88*87*86*85*84*83*82*81*80*79*78*77*76*75*74*73*72*71*30!/
18! 100****89
12.144.547,1
La forma de calcularla no es complicada teniendo en cuenta que:
Cuando los resultados de un experimento son equiprobables, la probabilidad de obtener un resultado favorable es:
Número de casos favorables/Número de casos posibles
El conjunto de todos los casos posibles se llama espacio muestral.
La forma de comenzar este problema, depende de cómo definamos los casos posibles, es decir de cómo definamos nuestro espacio muestral.
Si pensamos los números saliendo del bolillero de a uno por vez y consideramos el orden en que van saliendo debemos aplicar probabilidades compuestas y condicionadas.
El problema se simplifica bastante si tenemos en cuenta que:
Una vez que se extrajeron los 30 números, para saber si gano o perdió no importa el orden en que salieron esos números, sólo importa cuales son.
La cantidad de posibles conjuntos de 30 números extraídos de 100 son las:
Combinaciones de 100 elementos en 30 lugares.
Se trata de combinaciones sin repetición porque cuando una bolilla sale del bolillero no se vuelve a introducir. Además son todos equiprobables, justamente porque los números no se pueden repetir. (Atención: si tiramos un dado 2 veces es más probable obtener un tres y un cuatro que dos cuatros pero en el dado se pueden repetir los números que van saliendo ).
Para calcular este número combinatorio hacemos las
Combinaciones de 100 elementos en 30 lugares:
C(100,30)= 100!/30!(100-30)!
Numerillo que da aproximadamente 2,93 10^25
De todos estos posibles resultados, ¿cuántos contienen los 12 números del boleto?
Ahora de los 30 números conocemos 12 y solo podemos variar los restantes 18 que no están en el boleto. A esos 18 los podemos elegir entre 100-12=88 posibles números.
Entonces la cantidad de posibles combinaciones ganadoras son las
Combinaciones de 88 elementos en 18 lugares
C(88.18)= 88!/18!(88-18)! (aproximadamente 2,4 10^18)
Ahora podemos calcular la probabilidad de ganar como el cociente
P=C(88,18)/C(100,30)
Software Matemática de por medio esto da: 29/352191868
Es decir algo menos que una probabilidad entre 12.144.547
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Si en lugar de considerar los resultados no-ordenados consideramos los posibles resultados teniendo en cuenta el orden en que van saliendo los números, las combinaciones se transforman en variaciones, y las probabilidades de que salga un números son condicionadas a que no halla salido antes. Por supuesto se obtiene el mismo resultado aunque es un calculo innecesariamente más largo.
Cualquier cosa me mandas otra pregunta.
Saludos
Eudemo
La probabilidad de que se den varios hechos independientes también es igual al producto de las probabilidades, pero ese no es el caso que nos ocupa.
En este caso se trata nos interesa un numero, solo en caso de que en los anteriores ya se ha acertado. Esto es una probabilidad condicional
Si llamamos:
P(A) a la probabilidad de acertar al 1er numero
P(B) la probabilidad de acertar al 2do
... etc
P(B/A) la probabilidad de acertar al 2do en caso de haber acertado al 1ro
P(C/AB) la probabilidad de acertar al 3ro en caso de haber acertado al 1ro y 2do
... etc
Entonces la probabilidad de acertar al:
1ro y al 2do es P(AB)=P(A).P(B/A)
1ro 2do y 3ro es P(ABC)=P(A).P(B/A)P(C/AB)
1ro 2do 3ro y4to es: P(ABCD)= P(A).P(B/A).P(C/AB).P(D/ABC)
En fin, la probabilidad P(ABCDEFGHIJKL) es el producto de doce factores que salvoel primero son probabilidades condicionadas
Primero vamos a suponer que se retiran SOLO 12 bolillas
Antes de extraer la primera bolilla en el bolillero hay 100 bolillas (0 a 99) y en la tarjeta hay 12 números. La probabilidad de acertar es:
Numero de casos posibles/número de casos favorables=12/100
Si no sale ninguno de los anotados en la tarjeta, entonces ya perdió.
Si sale un número de los de la tarjeta, como no puede volver a salir, lo tachamos de la tarjeta y así nos quedan once números en la tarjeta. Por otra parte en el bolillero quedan 100-1=99 números. Entonces:
Al extraer el segundo la probabilidad de acertar es de 11/99
Si acierta el segundo, al extraer el tercero la probabilidad de acertar es de 10/98
Si acierta el tercero, al extraer el cuarto la probabilidad de acertar es de 9/97
Si acierta el cuarto, al extraer el quinto la probabilidad de acertar es de 8/96
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Si acierta el décimo, al extraer el onceavo la probabilidad de acertar es de 1/89
Si acierta el onceavo, al extraer el doceavo la probabilidad de acertar es de 1/89
Para que TODOS estos hechos se sucedan en forma consecutiva, la probabilidad se llama probabilidad compuesta y es igual al producto de todas las anteriores.
Aclaración :
=12/100x11/99x10/98x9/97x8/96x7/95x6/94x5/93x4/92x3/91x2/90x1/89=
=(2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12)/(89x90x91x92x93x94x95x96x97x98x99x100)
y esta cuentecilla da
=1/1050421051106700
es decir que hay una posibilidad entre1.050.421.051.106.700 de
Sin orden
C88/18
C100/30
88*87*86*85*84*83*82*81*80*79*78*77*76*75*74*73*72*71*30!/
18! 100****89
12.144.547,1
