Derivada

Es como que me dijeras, mira quiero calcular 1234*100 pero sin usar las tablas de multiplicar . sumando 1234+1234+1234+... cien veces
Es masoquismo puro.
Bueno como yo también tengo algo de masoquista, voy a intentarlo:
Comencemos haciendo la diferencia
f(x+h)-f(x)
que es igual a
3(x+h)/[(x+h)^2+1] - (3x)/[(x^2)+1]
Ahora distribuimos el producto con (x+h) en el denominador del primer término colocando primero lo que queda multiplicado por h y segundo lo que queda multiplicado por x:
3 h/[(x+h)^2+1]+ 3x/[(x+h)^2+1]- (3x)/[(x^2)+1]
---------------
Ahora tenemos tres términos. El primer termino dividido por h da:
3 /[(x+h)^2+1]
y en el limite cuando h tiende a cero es:
3 /(x^2+1) (1)
-------------
Sigamos con los otros dos términos que nos quedan
3x/[(x+h)^2+1]- (3x)/[(x^2)+1]
Sacando denominador común (producto de los denominadores) es:
{3x.[(x^2)+1]-3x. [(x+h)^2+1]} / {[(x+h)^2+1].[(x^2)+1]}
ahora sacamos 3x como factor común:
3x [(x^2)+1- (x+h)^2-1] / {[(x+h)^2+1].[(x^2)+1] }
cancelamos el +1 con el ?1
3x [(x^2)- (x+h)^2] / {[(x+h)^2+1].[(x^2)+1]}
Ahora hay que expandir el (x+h)^2 del numerador:
3x [(x^2)- (x^2+2hx+h^2)] /{[(x+h)^2+1].[(x^2)+1]}
y eliminamos el paréntesis cambiando los signos
3x [(x^2)- x^2-2hx-h^2)] /{[(x+h)^2+1].[(x^2)+1]}
el x^2 se cancela:
3x [(-2hx-h^2)] /{[(x+h)^2+1].[(x^2)+1]}
y sacamos factor común ?h
-h 3x [(2x+h)] /{[(x+h)^2+1].[(x^2)+1]}
Ahora podemos dividir por h
-3x [(2x+h)] /{[(x+h)^2+1].[(x^2)+1]}
y el limite de esto cuando h tiende a cero es
-3x .2x/ [(x^2+1). (x^2+1)]
-6 x^2/ (x^2+1)^2 (2)
El resultado es la suma (1) y (2):
lim f(x+h)-f(x)/h=3(x^2+1)-6x^2/(x^2+1)^2
h->0
Sacando denominador común también se puede poner como
lim f(x+h)-f(x)/h=[3(x^2+1)-6x^2]/(x^2+1)^2
h->0
En realidad en la sucesión de pasos están contenidos la forma de derivar un producto, un cociente, una suma y un cuadrado todo mezclado .
Me pregunto, ¿fue idea tuya?