Series convergente y divergentes
Quisiera saber porque la serie 1/n es divergente .. Si al parecer converge a 0 .
Y porque la serie 1/ n elevado al cuadrado es convergente .
Y porque la serie 1/ n elevado al cuadrado es convergente .
Respuesta de Juan Francisco Martínez Gil
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de eudemo
1
La sucesión 1/n tiende a cero
La serie 1/n que es la suma de 1+1/2+1/3+.....+1/n se puede hacer tan grande como yo quiera.
Lo que pasa es que el numeo de termino tiende a INFINITO.
Aunque cada termino sea muy pequeño como hay infintios la serie crece crece y crece.
Veamos si sumo los términos
1+1/2+1/3+1/4+.....+1/10
Cada termino es mayor que un décimo. Como tengo diez seguramente voy a obtener algo mayo que uno
Ahora sumo los términos
1/11+1/12+.......+1/100
Son todos mayores que 1/100 y como tengo 100 la suma tambiennda algo mayor que 1
Entonces hasta ahora sumé 2
Ahora sumo
1/101+1/102+......1/1000
Nuevamente sumo algo mayor a 1.Entonces en total tengo algo mayor a 3
Y puedo seguir 4,5,6 subiendo todo lo que yo quiera de uno en uno.
Por lo tanto la suma es tan grande com yo quiera
Ahora bien, me dirás que para llegar a 5 tengo que sumar 100.000 términos
para llagar a 6 necesito 1.000.000 De acuerdo, es mucho pero eso te da una ide que infinito es realmente infinito.
En cambio si n esta al cuadrado la serie tiene limite
La serie 1/n que es la suma de 1+1/2+1/3+.....+1/n se puede hacer tan grande como yo quiera.
Lo que pasa es que el numeo de termino tiende a INFINITO.
Aunque cada termino sea muy pequeño como hay infintios la serie crece crece y crece.
Veamos si sumo los términos
1+1/2+1/3+1/4+.....+1/10
Cada termino es mayor que un décimo. Como tengo diez seguramente voy a obtener algo mayo que uno
Ahora sumo los términos
1/11+1/12+.......+1/100
Son todos mayores que 1/100 y como tengo 100 la suma tambiennda algo mayor que 1
Entonces hasta ahora sumé 2
Ahora sumo
1/101+1/102+......1/1000
Nuevamente sumo algo mayor a 1.Entonces en total tengo algo mayor a 3
Y puedo seguir 4,5,6 subiendo todo lo que yo quiera de uno en uno.
Por lo tanto la suma es tan grande com yo quiera
Ahora bien, me dirás que para llegar a 5 tengo que sumar 100.000 términos
para llagar a 6 necesito 1.000.000 De acuerdo, es mucho pero eso te da una ide que infinito es realmente infinito.
En cambio si n esta al cuadrado la serie tiene limite
La primera parte me ha quedado claro, muchas gracias .
Pero lo que no entiendo es porque 1 /n al cuadrado es convergente ...
Es decir, ¿por qué tiene limite 1 / n al cuadrado? Si 1 / n no tiene limite, ¿cómo es que 1 / n al cuadrado si lo tiene?
No debería diverger, ¿pero más despacito?
Pero lo que no entiendo es porque 1 /n al cuadrado es convergente ...
Es decir, ¿por qué tiene limite 1 / n al cuadrado? Si 1 / n no tiene limite, ¿cómo es que 1 / n al cuadrado si lo tiene?
No debería diverger, ¿pero más despacito?
Si bien con la serie 1/n puedo ir tomando cantidades crecientes de términos de manera de seguir sumando uno indefinidamente con la serie 1/n^2 no puedo. Las cantidades que adicionO son cada vez más chicas.
Es complicado demostrar el valor al que tiende la serie 1/n^2 que es Pi cuadrado sobre 6. Lo que se puede hacer usar algún método para demostrar que converge.
El más intuitivo es el método de acotar la serie con la integral
Si hacemos la diferencia
1/n -1/(n+1)= 1/n(1+n))
Vemos que para n muy grande
1/n-1/(n+1)
difiere muy poco de
1/n^2
Por este método se puede demostrar que la derivada de 1/n es -1/n^2
Es decir que la integral de 1/x^2 es 1/x Si por tiende a infinito 1/x tiende a cero .
Así la integral de 1/x^2 cuando por tiende a infinito esta acotada
En general la integran de 1/x^m es 1/x^(m-1) y el método sirve para todo n distinto de 1.La fórmula anterior para la integral se aplica a cualquier m que no sea 1. En el caso m=1 la integral vale logaritmo de n que para n tendiendo a infinito es infinito
Resumiendo que la serie 1/n^m converge para todo m que sea mayor que uno.
Cuando m=1 como ya sabes la serie diverge .
Es complicado demostrar el valor al que tiende la serie 1/n^2 que es Pi cuadrado sobre 6. Lo que se puede hacer usar algún método para demostrar que converge.
El más intuitivo es el método de acotar la serie con la integral
Si hacemos la diferencia
1/n -1/(n+1)= 1/n(1+n))
Vemos que para n muy grande
1/n-1/(n+1)
difiere muy poco de
1/n^2
Por este método se puede demostrar que la derivada de 1/n es -1/n^2
Es decir que la integral de 1/x^2 es 1/x Si por tiende a infinito 1/x tiende a cero .
Así la integral de 1/x^2 cuando por tiende a infinito esta acotada
En general la integran de 1/x^m es 1/x^(m-1) y el método sirve para todo n distinto de 1.La fórmula anterior para la integral se aplica a cualquier m que no sea 1. En el caso m=1 la integral vale logaritmo de n que para n tendiendo a infinito es infinito
Resumiendo que la serie 1/n^m converge para todo m que sea mayor que uno.
Cuando m=1 como ya sabes la serie diverge .