Ayuda con geometría del espacio
Dice asi:
En el solido S representado en la figura , la base ABCD es un rectángulo de lados AB=2L AD=L ; las caras ABEF y DCEF son trapecios ; las caras ADF y BCE son triángulos equilateros y el segmento EF tiene longitud L . Determine , en función de L , el volumen de S
la imagen :
debe salir : ( 5*sqrt[2] / 12 )*L^3
no me sale (creo que esta mal el problema )
1 respuesta
Ahora no tengo tiempo, pero antes de ponerme. No nos dicen el angulo que forman los triángulos con el suelo, se supone que el volumen sera independiente de la inclinación que les demos, porque hay todo un abanico de posibles ángulos. Asimismo no se puede llamar trapecios a las figuras que dices, puesto que no tienen dos lados paralelos.
Dime la opinión al respecto. Dime también lo que has hecho o sabes, me temo que va a pasar como con los otros, que yo intente un método muy complicado y tu tengas uno sencillo.
la verdad he intentado de un montón de formas pero no me sale , este problema si no se como hacerlo , lo he dibujado exactamente como este en mi libro , pero no llego a la respuesta y creo que el problema esta mal
igual un saludo
Lo he estado meditando y aunque has hecho el dibujo con el segmento FE inclinado, también puede ser recto y en ese caso si que serán trapecios las caras ABEF y DCEF y será todo mucho más fácil aparte de que creo que eso es lo que te piden.
Pues la respuesta creo que es fácil. Vamos a cortar la figura con dos planos, uno pasa por F y otro por E, son perpendiculares al suelo y paralelos a la arista AD.
La figura quedará asi dividida en tres partes. En las esquinas serán pirámides de base rectangular y en el centro un castillo de naipes. Es relativamente sencillo calcular las dimensiones.
La proyección de F sobre el suelo estará a L/2 de AD, AD y CD
La proyección de E sobre el suelo estará a L/2 de BC, AD y CD
Este punto de proyección, A y F forman un triángulo rectángulo, el cateto de la base mide
sqrt[(L/2)^2+(L/2)^2] y la hipotenusa L, luego la altura de F sobre el suelo es
sqrt[L^2-(L/2)^2-(L/2)^2] = sqrt(L^2 -2L^2/4) = sqrt[(L^2)/2]= L/sqrt(2)
Y con esta altura ya podemos hacer maravillas
Volumen Castillo naipes = longitud x base x altura/2=L·L·[L/sqrt(2)]/2 = L^3/[2sqrt(2)]
Volumen de una pirámide = Área base x altura / 3 = L·(L/2)·[L/sqrt(2)]/3 =
L^3/[3sqrt(2)]
Como son dos pirámides
Volumen pirámides = 2L^3/[3sqrt(2)]
Y el volumen total:
Volumen Total = Volumen castillo naipes + volumen pirámides =
L^3/[2sqrt(2)]+2L^3/[3sqrt(2)] = [(3L^3)+(4L^3)] / [6sqrt(2)] =
7L^3 / [6sqrt(2)] =
Si racionalizamos el denominador queda
= [7sqrt(2)L^3] / 12
Si que me sale una respuesta distinta de lo que dicen. Pero ya te digo que el enunciado no es muy correcto.
