Estadística matemática con aplicaciones 5.21

Hago la traducción Y1=X, Y2=Y

X= casados

Y= nunca se han casado

P(x,y) = C(4, x)·C(3, y)·C(2, 3-x-y) / C(9, 3)

con x,y enteros 0 <= x,y <= 3; 1<=x+y<=3

a) Encuentre la probabilidad marginal de X

Por el mismo precio hacemos la tabla entera y servirá para más cosas

C(9,3) = 9·8·7/6 = 84

P(0,0) = 0 porque x+y >=1

P(0,1) =1·3·1/84 = 3/84

P(0,2) = 1·3·2/84 = 6/84

P(0,3) = 1·1·1/84 = 1/84

P(1,0) = 4·1·1/84 = 4/84

P(1,1) = 4·3·2/84 = 24/84

P(1,2) = 4·3·1/84 = 12/84

P(1,3) = 0 porque x+y <=3

P(2,0) = 6·1·2/84 = 12/84

P(2,1) = 6·3·1/84 =18/84

P(2,2) = P(2,3) = 0 porque x+y <= 3

P(3,0) = 4·1·1/84 = 4/84

P(3,1)=P(3,2)=P(3,3) = 0 porque x+y <= 3

Vamos a ver si se ha dado el milagro y suman uno. No simplifique las fracciones para facilitar ahora la suma.

3+6+1+4+24+12+12+18+4 = 84 pues si que salió bien y a la primera

La probabilidad marginal de X es

Px(0) = 3/84+6/84+1/84 = 10/84 = 5/42

Px(1) = (4+24+12)/84 = 40/84 = 10/21

Px(2) = (12+18)/84 = 30/84 = 15/42

Px(3) = 4/84 = 1/21

b) P(x=1|y=2) = P(1,2)/Py(2) =

Debemos calcular Py(2)

Py(2) = P(0,2)+P(1,2)+P(2,2)+P(3,2) = 6/84+12/84+0+0 = 18/84

=(12/84)/(18/84) = 12/18 = 2/3

c) Si con Z denotamos los ejecutivos divorciados entonces Z=3-x-y

Encuentre P(z=1|y=1)

P(z=1|y=1) = P(z=1 e y=1) / Py(1) =

como

z=3-x-y

1=3-x-1

x =3-1-1 = 1

Luego

P(z=1 e y=1) = P(x=1 e y=1) = P(1,1) = 24/84

Y falta calcular Py(1)

Py(1) = P(0,1)+P(1,1)+P(2,1)+P(3,1)= (3+24+18)/84=45/84

Y finalmente

P(z=1|y=1) = (24/84)/(45/84) =24/45 = 8/15

d) ¡Madre mía! ¡Quién se acuerda ahora de las hipergeométricas!

En la página 126 del libro está la definición de distribución hipergeométrica. Una variable Y tiene distribución de probabilidad hipergeométrica si y solo si

p(y)= C(r, y)C(N-r, n-y) / C(N, n)

Nos dicen N=9, n=3 y r = 4

P(y) = C(4,y)·C(5,3-y) / C(9,3)

P(0) =1·C(5, 3) / 84 = (5·4·3/6)/84 = 10/84 = 5/42

P(1) = 4·C(5,2)/84 = 4·10/84 = 40/84 = 10/21

P(2) = 6·C(5,1)/84 = 30/84= 15/42

P(3) = 4·1/84 = 4/84 = 1/21

Si son exactamente los mismos resultados que habíamos obtenido en a, luego Px(x) es un hipergeométrica cn N=9, n=3 y r=4

Y eso es todo.