Ecuación diferencial

Como destaco siempre, lo más importante para resolver una ecuación diferencial es
Clasificarla (esto es, saber de que tipo es). Ocurre lo mismo que para resolver una
Integral.
La que tu planteas es del tipo lineal.
Las Ecuaciones Diferenciales lineales son las que se pueden escribir de la forma:
dy/dx +P(x)*y = Q(x).
En tu caso dy/dx = y + x se puede escribir como dy/dx -y = x.
Con lo cual P(x) = -1 y Q(x) = x.
Para resolverla se empieza por hallar la solución general de la homogénea asociada:
dy/dx +P(x)*y = 0 , esto es dy/dx = -P(x)*y cuya solución es:
y(x) = C*exp{int[-p(x) dx]} (donde C es una constante de inegración).
En este caso y(x) = C*exp{int[1 dx]}= C*exp(x).
Ahora hay que hallar una solución particular de la completa.
Esto se hace por el método de la Variación de constantes suponiendo que la C de la expresión
anterior es C=U(x) función de x.
Entonces se obtiene:
U(x) =int[Q(x)*exp{int[P(x)dx]} dx]
y con ello la solucion particular buscada es:
Y(X) = int[Q(x)*exp{int[P(x)dx]} dx] * exp{int[-P(x) dx]}
La solución gegeral de la completa es la suma de las dos y(x) + Y(x) y se escibe de la
forma:
y(x) = exp{int[-P(x) dx]}*{C + int[Q(x)*exp{int[P(x)dx]} dx]}
En este caso P(x) = -1 y Q(x) = x Por tanto:
exp{int[-P(x) dx]} = exp{int[1 dx]} = exp{x}
exp{int[P(x) dx]} = exp{int[-1 dx]} = exp{-x}
int[Q(x)*exp{int[P(x)dx]} dx] = int[x*exp(-x) dx] = -x*exp(-x)-exp(-x)
Por tanto la solución general es:
y(x)= exp{x}*{C -x*exp(-x)-exp(-x)} = C*exp{x}-x-1