Anónimo
Poliniomio de Taylor de tercer grado
Buenas, tengo un problema para descifrar este polinomio de Taylor de tercer grado y no hay manera de poder desarrollarlo, si alguien me puede ayudar y explicar como debo hacerlo lo agradeceré mucho.
Gracias
f(x)= e (exponencial) de menos x partido de 10 .
Realmente tengo que calcular la aproximación al valor real de la función asignada en x= a uno partido de cuatro.
Tengo que encontrar el polinomio alrededor del 0 (teniendo en cuenta que el polinomio de Taylor es la recta tangente). Y estimar el error cometido entre el valor real y la aproximación del polinomio, comparando el valor real que encuentre o la fórmula del termino del error.
Muchísimas gracias! Lo necesitaría resolver para este martes!
Gracias
f(x)= e (exponencial) de menos x partido de 10 .
Realmente tengo que calcular la aproximación al valor real de la función asignada en x= a uno partido de cuatro.
Tengo que encontrar el polinomio alrededor del 0 (teniendo en cuenta que el polinomio de Taylor es la recta tangente). Y estimar el error cometido entre el valor real y la aproximación del polinomio, comparando el valor real que encuentre o la fórmula del termino del error.
Muchísimas gracias! Lo necesitaría resolver para este martes!
1 Respuesta
Respuesta de eleanorboots
1
Voy a intentar explicarte con detalle como resolvería éste tipo de problema
1) En primer lugar sacamos el taylor de la función f(x)= "e elevado a (-x/10)". Vamos a hacerlo por composición como ("e elevado a x" o "-x/10") donde "o" significa composición.
Sacamos el desarrollo de taylor de "e elevado a x" en el origen hasta grado 3:
T("e elevado a x")= 1 + x/1! + (x al cuadrado)/2! + (x al cubo)/3!
A continuación hacemos la composición, es decir, ponemos un (-x/10) donde hay una x en el Taylor.
Tf(x)= 1 - x/10 + (-x/10)cuadrado/2 + (-x/10)cubo/3! + R4(x)
2) evaluamos ahora nuestro taylor en x=1/4:
Tf(1/4)= 0,9753 + R4(x)
éste es la aproximación al valor real de la función en x=1/4.
3) vamos a calcular el error cometido. ésto se hace acotando el residuo [R4(x)]:
fórmula: |R4(x)| "menor o igual que" (|x|elevado a 4)/4! · M
M es el valor máximo de las derivadas de orden 4 de la función de la que hemos sacado el taylor:
4) cálculo de M:
f(x)= "e elevado a -x/10"
calculamos f'(x), f''(x), f'''(x) y finalmente la derivada de orden 4:
f''''(x)= (1/10000)·(e elevado a -x/10)
el valor máximo se dará cuando x=0, entonces valor máximo de f''''(x)=1/10000
éste es el valor de M=1/10000
sustituimos valores en la fórmula de la acotación del error:
|R4(1/4)| "menor o igual que" (|1/4|elevado a 4)/4! · 1/10000
|R4 (1/4)| "menor o igual que" 1,63exp(-8)
El valor del error es menor que = 1,63exp(-8)
Se trata pues de un error muy pequeño, la aproximación es buena!
Espero que te sirva, siento tener que escribir las fórmulas así, no se entiende mucho, para cualquier duda, pregunta.
Nota: he considerado que te piden la función "e elevado a (-x/10)" aunque no se entiende muy bien. A lo mejor pedías "(e elevado a -x) / 10" si es el caso te explico como hacerlo.
1) En primer lugar sacamos el taylor de la función f(x)= "e elevado a (-x/10)". Vamos a hacerlo por composición como ("e elevado a x" o "-x/10") donde "o" significa composición.
Sacamos el desarrollo de taylor de "e elevado a x" en el origen hasta grado 3:
T("e elevado a x")= 1 + x/1! + (x al cuadrado)/2! + (x al cubo)/3!
A continuación hacemos la composición, es decir, ponemos un (-x/10) donde hay una x en el Taylor.
Tf(x)= 1 - x/10 + (-x/10)cuadrado/2 + (-x/10)cubo/3! + R4(x)
2) evaluamos ahora nuestro taylor en x=1/4:
Tf(1/4)= 0,9753 + R4(x)
éste es la aproximación al valor real de la función en x=1/4.
3) vamos a calcular el error cometido. ésto se hace acotando el residuo [R4(x)]:
fórmula: |R4(x)| "menor o igual que" (|x|elevado a 4)/4! · M
M es el valor máximo de las derivadas de orden 4 de la función de la que hemos sacado el taylor:
4) cálculo de M:
f(x)= "e elevado a -x/10"
calculamos f'(x), f''(x), f'''(x) y finalmente la derivada de orden 4:
f''''(x)= (1/10000)·(e elevado a -x/10)
el valor máximo se dará cuando x=0, entonces valor máximo de f''''(x)=1/10000
éste es el valor de M=1/10000
sustituimos valores en la fórmula de la acotación del error:
|R4(1/4)| "menor o igual que" (|1/4|elevado a 4)/4! · 1/10000
|R4 (1/4)| "menor o igual que" 1,63exp(-8)
El valor del error es menor que = 1,63exp(-8)
Se trata pues de un error muy pequeño, la aproximación es buena!
Espero que te sirva, siento tener que escribir las fórmulas así, no se entiende mucho, para cualquier duda, pregunta.
Nota: he considerado que te piden la función "e elevado a (-x/10)" aunque no se entiende muy bien. A lo mejor pedías "(e elevado a -x) / 10" si es el caso te explico como hacerlo.