Estadística matemática con aplicaciones 5.39

5.39)

Recordemos como es la distribución de Poisson:

$$P(Y_1=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$

Y ahora calcularemos la probabilidad condicionada.

$$\begin{align}&P(Y1=y1\; |\; W=w) = \frac{P(Y_1=y_1,W=w)}{P(W=w)}=\\ &\\ &\\ &\text{Como W = Y1+Y2 }\implies (W=w \implies Y2=w-y_1) \\ &\\ &\\ &=\frac{P(Y_1=y_1,Y_2=w-y_1)}{P(W=w)}=\\ &\\ &\\ &\frac{\frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1 ^{y_1}}{y_1!}·\frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{w-y_1}}{(w-y_1)!}}{\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2) ^{w}}{w!}}=\\ &\\ &\\ &\frac{w!}{y_1!(w-y_1)!}·\frac{\lambda_1^{y_1}·\lambda_2^{w-y_1}}{(\lambda_1+\lambda_2)^w}=\\ &\\ &\\ &\binom{w}{y_1}\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{y1}\left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{w-y1}\end{align}$$

Y esa es exactamente la expresión de la binomial que nos dicen, simplemente se comprueba a la vista que la suma del primer y segundo paréntesis es 1, luego el segundo es (1-p)

Y eso es todo.