Evaluar la integral definida

Se puede hacer descomponiendo en dos integrales, pero creo que no hace falta.

$$\begin{align}&\int_2^3(x-2)\sqrt{3-x}dx=\\ &\\ &t= 3-x \implies x= 3-t\implies x-2=1-t\\ &dt=-dx\\ &x=2\implies t=1\\ &x=3\implies t=0\\ &\\ &=-\int_1^0(1-t)\sqrt t\; dt=\\ &\\ &\text{El signo - lo quitamos cambiando de orden}\\ &\text{los límites de integración}\\ &\\ &=\int_0^1 (t^{1/2}-t^{3/2})dt=\\ &\\ &\left[\frac 23t^{3/2}-\frac 25t^{5/2}  \right]_0^1=\\ &\\ &\frac 23-\frac 25=\frac{10-6}{15}= \frac 4{15}\end{align}$$

Y eso es todo.