Ejercicios de análisis 2

i) Sea cualquier r € R.

3^n > r <==> ln(3^n) > ln r <==> n·ln 3 > ln r <==> n > ln r / ln 3

Y esto se cumple, por la propiedad arquimediana existe n mayor que cualquier número real. Tomando ese n se cumple 3^n > r, luego A no está acotado.

Ii) 2/3^n es siempre positivo, luego 0 es una cota inferior. Y es la mayor cota inferior porque supongamos que e>0 es una cota inferior

tomamos r = 1/e

tal como vimos antes existe n tal que 3^n > r y eso se cumple si y solo si

1/3^n < 1/r = 1/(1/e) = e

Y hemos encontrado un elemento de B < e lo cual contradice que e sea una cota inferior. Luego la mayor cota inferior es 0 y es el inf B

Y eso es todo.