Calculo de probabilidades
Dos estaciones A y B están conectadas a través de dos canales de transmisión
de mensajes, los cuales se envían de A a B por ambos canales simultáneamente.
Los tiempos en minutos que tarda un mensaje en llegar a B por cada canal son
aleatorios, independientes entre sí y ambos con distribución uniforme en el
intervalo (0, 1).
Un mensaje se considera «recibido» en el instante en que llega a B por
uno cualquiera de ambos canales, y se considera «verificado» en el instante en
que ha llegado a B a través de ambos canales.
a) Halla la probabilidad de que un mensaje se dé como recibido dentro de los 15 segundos siguientes a su emisión.
b) Halla la probabilidad de que un mensaje se dé como verificado dentro de los 15 segundos siguientes a su
emisión.
c) Si la estación B se avería por tiempo indefinido a los 15 segundos de que un mensaje es recibido, ¿cuál es la probabilidad de que dicho mensaje pueda
ser verificado?
Alemc 1977!
La distribución uniforme es la la que tiene densidad constante en todo el intervalo probable.
Como la integral de la densidad debe ser 1 se tiene que la constante esa es 1/(longitud del intervalo. Y eso en nuestro caso es
f(z) = 1 en 0<=z <=1
0 en el resto
Luego, la función de distribución es la integral
F(z) = z + C
Como F(0) = 0 se tiene
0 = 0 + C
C = 0
Y en resumen que la función de densidad es
0 si z < 0
z si 0<= z <= 1
1 si z > 1
z va medida en minutos. Luego 15 segundos es 1/4 de minuto
F(1/4) = 1/4
P(llegar en menos de 15 segundos) = 1/4
P(no llegar en menos de 15 segundos) = 1-1/4 = 3/4
a)
La probabilidad de que se de como recibido en 15 segundos es la suma de estos la probabilidad de estos tres sucesos disjuntos:
Que llegue por el canal 1 y no por el 2. P = (1/4) · (3/4) = 3/16
Que llegue por el 2 y no por el 1. P = (1/4)·(3/4) = 3/16
Que llegue por los canales. P(1/4)(1/4) = 1/16
Luego
P(recibido en 15 segundos) = 3/16 + 3/16 + 1/16 = 7/16
b)
La probabilidad de verificado es la de que haya llegado por los dos canales. Ya estaba calculada arriba:
P(verificado en 15 segundos) = (1/4)(1/4) = 1/16
c)
Habrá un mensaje que llegue primero de los dos, entonces el otro debe llegar antes de 15 segundos.
Si el primero llega antes del 45 el otro tiene 15 segundos. Si llega después tendrá el tiempo que sobre.
Calculamos la probabilidad suponiendo que llega primero por el canal 1
La probabilidad de que llegue antes del segundo 45 por el canal 1 es 3/4 y luego hay 15 segundos para que llegue por el 2. La probabilidad de esto es
P = 3/4 · 1/4 = 3/16
Y ahora calculamos la probabilidad ente el segundo 45 y 60
$$\begin{align}&\int_{3/4}^1\int_x^1dydx=\int_{3/4}^1(1-x)dx=\\ &\\ &\\ &\left[x-\frac{x^2}{2} \right]_{3/4}^1= 1-\frac 12-\frac 34+\frac{9}{32}=\\ &\\ &\frac{32-16-24+9}{32}=\frac{1}{32}\\ &\end{align}$$Asi la probabilidad siendo primero el canal 1 es
3/16+1/32 = (6+1)/32 = 7/32
Y siendo primero el canal 2 es exactamente la misma.
Luego la probabilidad es 14/32
Y eso es todo.
