La altura correspondiente a la hipotenusa
La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 1,9 cm y el cateto menor 2cm. Calcula la amplitud de cada uno de los ángulos agudos y la longitud de la hipotenusa
1 respuesta
Pondremos el triángulo rectángulo con la hipotenusa haciendo de base. Trazando la altura AO dividimos el triángulo en dos triángulos rectángulos.
Uno de ellos tendrá el cateto de 2cm como hipotenusa y la altura de 1,9 será un cateto de ella, luego el otro cateto será
BO = sqrt(2^2 - 1.9^2) = sqrt(4 - 3.61) = sqrt(0.39) = 0.6245
Con vértice en C tenemos dos triángulos rectángulos ABC y OAC que son congruentes porque sus tres ángulos son congruentes y el teorema de thales dice que son proporcionales de esta manera
AB / OA = BC / AC = AC / OC
Mirando la figura tenemos
BC = BO +OC
con lo cual la igualdad
BC / AC = AC / OC
se transforma en
(BO+OC) / AC = AC / OC
OC·(BO+OC) = AC^2
Por otra parte tenemos el teorema de Pitagoras
2^2 + AC^2 = (BO+OC)^2
sustituyendo el valor de AC^2 de la ecuación anterior tenemos
4 + OC(BO+OC) = (BO+OC)^2
y sustituyendo el valor calculado de BO
4 + OC(0.6245+OC) = 0.6245^2 + OC^2 + 2·0.6245·OC
4 + 0.6245·OC + OC^2 = 0.39 + OC^2 + 1.249·OC
4 + 0.6245·OC = 0.39 + 1.249·OC
4 - 0.39 = 0.6245·OC
OC = 3.61 / 0.6245
En realidad 0.6245 era la raíz cuadrada de 0.39 algo redondeada, haré la cuenta con la raíz en vez de con el decimal
OC = 3.61 / sqrt(0.39) = 5.780626352
Luego la hipotenusa mide
BC = BO + OC = sqrt(0.39) + 3.61 /sqrt(0.39) = (0.39 + 3.61) / sqrt(0.39) =
4/sqrt(0.39) = 40 / sqrt(39) = 6.405126152 cm
Ahora conociendo la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo en C podemos calcularlo sabiendo que
sen(alfa) = (cateto opuesto) / hipotenusa
sen C = 2 / [40/sqrt(39)] = 2·sqrt(39) / 40 = sqrt(39) / 20
ángulo en C = sen^-1[sqrt(39) / 20] = 18.19487234º
ángulo en B = 90º - 18.19487234º = 71.80512766º
Y eso es todo. Un poco complicado quizá. A lo mejor habría alguna forma más fácil. Sé que con geometria cartesiana con puntos, rectas, perpenciculares, vectores y todo eso se podría haber hecho también y creo que más fácil, pero no sé que cuál gemetría tenías que utilizar. Si es con cartesiana mándame el problema en otra pregunta.
